Een viertal voorbeelden, waarin de tot nu toe besproken constructies toegepast worden.
 

Voorbeeld 1

Gegeven is lijn m met daarop de punten A, B, C en D. Gevraagd is de constructie van de rechthoekige driehoek met schuine zijde AD, waarvan de rechthoekszijden zich verhouden als AB:BC.
 

Constructie:

a.    Construeer een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden AB en BC. Noem de hiermee verkregen schuine zijde KL.

b.    Zoals KL zich verhoudt tot AD, zo zullen AB en BC zich verhouden tot de rechthoekszijden van de gevraagde driehoek. Vind dus met basisconstructie 1 de gevraagde rechthoekszijde PR, die overeenkomt met AB.

c.    De ontbrekende rechthoekszijde (RS) is nu met behulp van de andere zijden van de gevraagde driehoek (PQ en AD) te construeren.

Voorbeeld 2

Gegeven is de lijn m met de punten A, B en C. Gevraagd is het punt P op het verlengde van AB, zodat de rechthoek met zijden AD en BD gelijk is aan het vierkant met zijde CD.

Dit probleem komt voor in de Latijnse bewerking (1659/1661) van de Géométrie van Descartes. De bewerker hiervan, de Leidse hoogleraar Frans van Schooten, voegde een aantal illustratieve voorbeelden toe aan Descartes' werk, waaronder dit probleem.  

Er moet gelden:

Deze vorm is een verhouding, waarin het onbekende punt D vier keer voorkomt. Vergelijkbaar met de gevallen 7, 10 en 11, die we op de vorige pagina hebben bekeken. En aangezien D op het verlengde van AB moet liggen is deze vorm te vereenvoudigen.

Constructie:  

Met behulp van basisconstructie 1 is uit deze laatste verhouding de plaats van punt D op een van de benen (q) van een hoek te bepalen. En daarmee is ook de plaats op het verlengde van AB (op m) bepaald.

Een tweetal opmerkingen:  

1.    Van Schooten gebruikte dit probleem juist om een meer algebraïsche manier van oplossen te illustreren, hetgeen Descartes in zijn werk voorstond.

2.    Als er in de vraagstelling niet de toevoeging 'op het verlengde van AB' had gestaan, dan kunnen er nog twee punten D gevonden worden tussen A en B die voldoen.

Hiervoor is een soortgelijke constructie mogelijk als in de gevallen 7, 10 en 11.

    I.        construeer P op m uit

   II.        Construeer een lijnstuk L waarvoor geldt:  .

  III.        Bepaal D op AP zodat er geldt:.

Voorbeeld 3

Het nu volgende meetkundige probleem is afkomstig uit het werk Geometria Practica (1604) van de wiskundige Cristoph Clavius (1537-1612), een tijdgenoot en vriend van Kepler. Clavius was van Duitse afkomst, en heeft een groot deel van zijn leven in Italië gewerkt.

Het probleem luidt als volgt: Gegeven een driehoek ABC en een willekeurig punt H. Gevraagd is de lijn m door H te construeren, die driehoek ABC in twee gelijke delen (delen van gelijke oppervlakte) verdeelt.

Dit probleem vergt enige analyse. Stel dat de lijn HQ de gevraagde lijn m is. Dan moet er dus gelden .

Het oorspronkelijke vraagstuk moet vertaald worden in termen van gegeven en gevraagde lijnstukken (lengtes).
Van driehoek ABC zijn de lengtes gegeven. Ook de positie van punt H is gegeven. We kunnen de positie van H ten opzichte van de driehoek op diverse manieren karakteriseren, bijvoorbeeld door zijn afstand tot twee zijden van driehoek ABC.

We nemen als 'variabelen' voor H de afstand A'A en de afstand A'H (A'H loopt evenwijdig aan AB). Zie figuur hiernaast.

We hebben uiteindelijk slechts één punt (P of Q) nodig om het probleem op te lossen. Dit punt kunnen we karakteriseren door zijn positie op de betreffende zijde. In de voorafgaande verkenning van meetkundige constructies hebben we voortdurend situaties bekeken, waarbij de gegeven punten en het gevraagde punt op één lijn lagen. Dit probleem van Clavius is ook hiertoe te herleiden. We nemen lijn AC als de lijn, waar we uiteindelijk de constructie op gaan uitvoeren. En laat de positie van Q op AC het doel van de constructie zijn. We gaan dus alle benodigde (bekende en onbekende) lijnstukken herleiden tot lijnstukken op AC.

Constructie:

     I.        Neem D als midden van AC. Dan is er aan het gevraagde voldaan als er geldt: AP.AQ = AB.AD ........ (1)

AD en AQ liggen op lijn AC. Vervolgens beschouwen we AP en AB. AP is in combinatie met A'H te 'verplaatsen' naar lijn AC, bijvoorbeeld met de gelijkvormigheidsverhouding: .

We zullen nu het product AB.AD zo transformeren dat bovenstaande verhouding toegepast kan worden. A'H is dan de karakterisering van punt H.

   II.        Construeer E op AC zodat: A'H.AE = AB.AD ........ (2)

Dit kan met basisconstructie 1 uit de verhouding: .

Uit (1) en (2) volgt: .

Nu is er een verhouding ontstaan van lijnstukken, die alle op lijn AC liggen en waarin het onbekende punt Q drie keer voorkomt, vergelijkbaar dus met de reeds eerder beschouwde gevallen 8 en 9. Vereenvoudigen is mogelijk:

M.a.w. er moet een punt Q op AC geconstrueerd worden, zodat AA'.AE = AQ.EQ. Hiervoor hebben we de twee bekende stappen nodig (basisconstructie 2).

  III.        Construeer het 'vierkant' L², waarvan de oppervlakte gelijk is aan AA'.AE.

  IV.        Bepaal Q op AC, zodat
AQ.EQ = L².

Stap IV levert gewoonlijk twee punten die voldoen. Eén punt Q is er eentje 'tussen' A en A' in. Dit laatste punt heeft echter in deze opgave geen betekenis. Dit punt is er 'ingeslopen' door de verhouding   toe te passen. Aan deze verhouding voldoet ook dit bewuste punt Q tussen A en A'.

In een aantal gevallen levert een verhouding met daarin drie keer het onbekende punt ook nog een of twee extra punten die voldoen. In dit geval zouden er eventueel ook nog punten tussen A en E kunnen liggen.
Hier echter niet omdat hier geldt:
L > ½AE (ga na).

Voorbeeld 4  

Boek VI van de Elementen van Euclides bevat een tweetal proposities, waarin specifieke verhoudingen van lijnstukken aan de orde komen, namelijk de middenproportionaal en de gulden snede. Deze laatste, ook wel de verdeling in uiterste en middelste reden genaamd, is het onderwerp van propositie VI.30.

Definitie: Een lijnstuk is in uiterste en middelste reden verdeeld, wanneer het hele lijnstuk zich tot het grootste deel verhoudt als het grootste deel tot het kleinste.

Zo is het lijnstuk AC hiernaast in B verdeeld in uiterste en middelste reden, als er geldt: ... (1)

Laten we de zaak iets anders benaderen, en wel als volgt: gegeven is lijnstuk AB; te construeren op het verlengde van AB het punt C, zodat aan bovenstaande verhouding is voldaan.  

Uit (1) volgt: . Kortom, AB is de middenproportionaal van AC en BC.

In de figuur hiernaast is dit schetsmatig weergegeven. Een verticaal en een horizontaal lijnstuk AB, het horizontale gedeelte valt op de middellijn van een beoogde constructiecirkel en aan weerskanten van het horizontale lijnstuk moet een even groot lijnstuk (BC) komen om de middellijn te completeren. Met andere woorden, het middelpunt van de constructiecirkel bevindt zich in het midden van het horizontale lijnstuk AB.

Constructie:

Trek een horizontale lijn m. Pas hierop het lijnstuk AB af. Pas op het rechter grenspunt S hiervan nogmaals de lengte AB af, loodrecht omhoog. Noem het bovenste grenspunt T. Bepaal het midden M van het horizontale lijnstuk AB.

Trek een cirkel met straal MT en middelpunt M. Deze snijdt m in P en Q. Het lijnstuk SQ is nu het gevraagde BC. 

De oorspronkelijke opgave was de constructie van een punt (D) tussen A en B, dat lijnstuk AB verdeeld in een gulden snede. Zie figuur hiernaast.

De nu ontstane gulden snede van AC kan eenvoudig als een verhouding overgebracht worden op AB met bijvoorbeeld basisconstructie 1.