Opgaven

39. Kepler's perkenwet betekent in feite dat een planeet sneller beweegt naarmate deze dichterbij de zon is.
     

    Hiernaast staat een schematische afbeelding van een elliptische planeetbaan om de zon (Z). In een vast tijdsinterval t legt de planeet een afstand P af. Noem de hoek tussen de voerstraal a en de raaklijn in P aan de ellips.

    
    a.     Toon aan dat de perkenwet van Kepler voor een klein tijdsinterval t inhoudt
    
    
     

    In het geval dat t infinitesimaal klein wordt, is de snelheid v (=dP/dt) dus omgekeerd evenredig is met a.sin.

    Vergelijken we de snelheid van een planeet in het perihelium en het aphelium van de planeetbaan dan zijn deze snelheden omgekeerd evenredig met de afstand tot de zon.

    b. Toon dit aan.
    
    
     

40. Van een ellips is d de lengte van de halve lange as en c de afstand van een brandpunt tot het middelpunt M.

    a. Toon aan dat de lengte van de halve korte as gelijk is aan Gebruik hierbij de eerste definitie van de ellips uit opgave 26. Vergeleken bij een cirkel is een ellips excentrisch. De brandpunten liggen excentrisch ten opzichte van het middelpunt. De relatieve excentriciteit wordt ook wel gedefinieerd als . b. Toon aan dat de lengte van de halve korte as gelijk is aan c. Welke waarden kan e aannemen?

    
     

41. [*] Voor de verhouding van de snelheden in het aphelium en perihelium geldt:.
    a.     Toon dit aan. Gebruik hiervoor de uitkomsten van de vorige twee opgaven.
    
    De verhouding van deze snelheden is blijkbaar alleen afhankelijk van de excentriciteit van de ellips.
    
     

    Planeet	Omlooptijd in jaren	Periheliumafstand tot de zon in miljoen km	Gemiddelde baansnelheid in km/s	Relatieve excentriciteit e van de baan
    Mercurius	0,24	45,93	47,9	0,2056
    Venus	0,61	107,41	35,0	0,0068
    Aarde	1,00	147,05	29,8	0,0167
    Mars	1,88	206,59	24,1	0,0933
    Jupiter	11,9	740,66	13,1	0,0482
    Neptunus	164,8	4459,5	5,4	0,0104
    Pluto	248,0	4435,6	4,7	0,2462

    
    Hierboven zie je gegevens over de ellipsbanen van een aantal planeten.
    
    b.     Bereken de apheliumafstand van Mercurius en Venus in honderdduizend kilometer nauwkeurig.
    
    Een goede benadering van gemiddelde afstand a_g tot de zon is te verkrijgen uit de formule

    a_peri = a_g.(1-e).
    
    c.     Laat hiermee zien dat Pluto wel degelijk de 'buitenste planeet' is, ondanks het feit dat hij een kleinere periheliumafstand heeft dan Neptunus.
     

    d.     Geef een schatting van de snelheid van Pluto in het perihelium. Ga er hierbij voor het gemak vanuit dat de snelheid van de planeet overal omgekeerd evenredig is met de afstand tot de zon.
    
    De banen van periodieke kometen zijn over het algemeen veel meer excentrisch dan die van planeten. Hieronder zie je enkele gegevens van twee van dergelijke kometen.
     

    Komeet	Omlooptijd in jaren	Periheliumafstand tot de zon in miljoen km	Lengte van de lange as van de ellipsbaan in miljoen km	Relatieve excentriciteit e van de baan
    Halley	76,1	87,41	5367,6	0,967
    Encke	3,30	50,71	661,2	0,847

    
    e.    Bereken voor de komeet van Encke de verhouding tussen de snelheden in het perihelium en het aphelium.
    
    f.     Bepaal voor de komeet van Halley de grootte van de korte as.

    g.     Maak een schatting van de totale afstand van de ellipsbaan van de komeet van Halley. Bereken op grond hiervan de
            gemiddelde snelheid van de komeet.

    In opgave 29.d heb je gezien dat Kepler de omtrek van een ellips met lange as 2 en korte as 2p berekent met de benaderingsformule omtrek = (1+p).

    h.     Stel dezelfde formule op als hierboven, maar dan voor de omtrek van de baan van de komeet van Halley. Zeg iets over de
            nauwkeurigheid van deze formule.
     

42. Toen ik dit zag, was het of ik uit de slaap gewekt werd en een nieuw licht zag ...' schrijft Kepler wanneer hij zich realiseert dat de ovale planeetbaan van Mars de eigenschap van een bijna cirkelvormige ellips heeft. Het inzicht dat hij op dat moment krijgt heeft te maken met een complex van factoren. Een ervan is - sterk vereenvoudigd en modern weergegeven - het volgende.

    Vergeleken bij een cirkel blijkt de baan van Mars zijdelings enigszins ingedrukt. In de figuur hiernaast is een cirkel met straal 1 afgebeeld. De baan van Mars is hierbij schematisch afgebeeld als de platgedrukte cirkel. De korte as van de ovaal is vergeleken bij de cirkelstraal ingekort met een lengte s. Kepler heeft ontdekt dat deze lengte in relatie staat tot de excentriciteit van de Marsbaan, en wel zo dat . a.     In het geval dat de ovaal een ellips is geldt er .         Toon dit aan m.b.v. opgave 40.b.

    b.     Controleer dat deze vergelijking klopt voor e=0. Welk figuur is de ellips dan?

    c.     Ga na dat de vergelijking ook zeer nauwkeurig klopt voor e²=0,00858. Dit is de waarde die Kepler hanteert.

    d.     Zeg iets over de nauwkeurigheid van de vergelijking voor het geval het de baan van de planeet Mercurius betreft.
            En als het de baan van de komeet van Halley betreft.

    e.     Geef een wiskundig bewijs dat de vergelijking uit opgave 42.a opgaat voor kleine e.
            Hint: kwadrateer linker- en rechterlid.