Opgaven































 
  1. [P] Bij deze opgave moet je een waarnemingsinstrument maken: een slingerkwadrant. Hierboven zie je een eenvoudig ontwerp afgebeeld. Voor het bouwen heb je aan materiaal nodig:
     

    en als gereedschap:

    a.     Neem het grootste plaatje multiplex. Teken met potlood en geodriehoek de lijn die het plaatje in de lengterichting precies in tweeën verdeelt.

    b.     Draai het oogschroefje precies op de lijn vlak bij een van de uiteinden (36). Dit is het vizier. Zorg dat je het schroefje net niet door het hout heen draait.

    c.     Sla de kleine spijker van 1,5 cm ook op de lijn aan het andere uiteinde. Deze dient als richtstreep. Zorg hier ook dat je hem net niet door het hout heen slaat.

    d.     Bepaal het midden van deze lijn en sla hier de spijker van 2,5 cm doorheen zodat die er net aan de achterkant uitsteekt. Neem nu het smallere plaatje multiplex. Dit dient als handvat. Leg het een beetje scheef onder het grotere plaatje (zie afbeelding) en sla de spijker hier precies doorheen. Knoop het garen met het gewichtje aan de kop van de spijker. Dit is de slinger.

    e.     Plak de geodriehoek met twee stukjes tweezijdig plakband op het bredere multiplex plaatje. Doe dit zo dat de lange zijde van de driehoek precies langs de getekende lijn ligt met de 'nul' precies tegen de spijker van de slinger (zie afbeelding).

    De slingerkwadrant is klaar. Het gebruik is heel simpel:

    f.     Geef een verklaring voor de naam 'kwadrant'.

    g.     Waarvoor dient de slinger?

    h.     Het zal duidelijk zijn dat we met deze slingerkwadrant hoogten kunnen bepalen. Wat moet er voor een plaatsbepaling op de hemelbol nog meer gemeten worden? Hoe kunnen we dat doen?


     

  2. [P] Doe een tweetal waarnemingen met de slingerkwadrant.
     
    a.    i.      Meet overdag op een afstand van ca 10 m de hoek waaronder je een deurpost waarneemt.

    ii.     Bereken hiermee de hoogte van de deurpost. Geef aan hoe je de hoogte berekend hebt.

    iii.    Controleer je antwoord door de hoogte met een meetlint te meten.

    iv.     Geef aan op hoeveel cm je antwoord nauwkeurig was en leidt hieruit de nauwkeurigheid af van de slingerkwadrant in booggraden.

    b.     Neem 's avonds bij heldere hemel poolshoogte. Anders gezegd, meet de hoek waaronder je de poolster ziet.

     

     

  3. Een manier waarop de afstand tot nabijgelegen hemellichamen bepaald kan worden lijkt veel op de driehoeksmeting in de landmeetkunde.

    Twee waarnemers B en K bepalen min of meer gelijktijdig de positie van een nabij gelegen hemellichaam M (37). Ze zullen het ieder in een andere richting zien. Het verschil p tussen deze richtingen heet het verschilzicht, ook wel de parallax. Samen met de rechte afstand BK levert de hoek p een maat voor de lange zijden van driehoek MBK. Zelfs nabij gelegen hemellichamen, zoals de maan de de planeten, staan zover weg staan dat driehoek MBK nagenoeg gelijkbenig is.

    Laten we de volgende situatie bekijken. B bevindt zich in Budapest en K is in Kaapstad. Samen meten ze de positie van het middelpunt van de maan. Hoek is gelijk aan 80o. De straal van de aarde is gelijk aan 6300 km.

    a.     Bereken de lengte van BK in honderd km nauwkeurig.

    b.     De waargenomen parallax van de maan (M) bedraagt 1o12'. Laat door berekening zien dat de afstand maan-aarde ongeveer 390.000 km is.

    Een bijzonder geval krijg je wanneer waarnemer Z het hemellichaam in het zenit ziet, terwijl H het precies aan de horizon waarneemt. In dat geval is hoek CHM recht en noemen we p de horizontale parallax.

    c.    Bereken met de uitkomst van opgave 36.b de horizontale parallax van de maan in minuten nauwkeurig.

    Op de hierboven beschreven manier is de parallax van de planeten van ons zonnestelsel nog net te meten (zie bijvoorbeeld onderzoeksopgave 44). Buiten ons zonnestelsel werkt de methode niet. Zelfs voor de meest nabije sterren is de hoek niet waarneembaar. De ster staat gewoon veel te ver weg.

    Friedrich W. Bessel bepaalde in 1838 de afstand van ons zonnestelsel tot de ster 61 Cygni (in het sterrebeeld Zwaan). Hij gebruikte als basis voor zijn driehoeksmeting de middellijn van de aardbaan om de zon (38). De ene richting mat hij dus een half jaar later dan de andere. We spreken in dit geval van de jaarlijkse parallax. Bessel vond een jaarlijkse parallax van 0,40".

     

    d.     Bereken hiermee de afstand van 61 Cygni tot de aarde in duizend astronomische eenheden nauwkeurig.



     

  4. In de tijd van Tycho is men reeds in staat om diverse parallaxen om te rekenen.
     

    Een voorbeeld met betrekking tot twee verschillende parallaxen. In de afbeelding hiernaast zijn V en W punten op het aardoppervlak. C is het centrum van de aarde. In P bevindt zich een planeet in zijn culminatiepunt. De straal PC is deels omcirkeld. Z is het zenit voor waarnemer W.

    Voor hemellichaam P gelden de volgende twee parallaxen vanuit waarnemingspositie W:


    I. Hoek WHC komt overeen met de horizontale parallax (h) van P (ga dit na).


    II. Hoek WPC is alleen afhankelijk van de positie van W. Vaak wordt deze hoek eenvoudigweg de parallax (p) in W genoemd.

     


    Een lijn door C snijdt de lijn PW loodrecht in A.
    Toon aan:

    a.

    Nu is hoek PWZ gelijk aan 90o min de culminatiehoogte () van de planeet. Met andere woorden: de sinus van de parallax is gelijk aan het product van de sinus van de horizontale parallax en de cosinus van de culminatiehoogte.

    Parallaxen zijn meestal erg klein, dus er geldt

    b.     Bewijs dit.


     

  5. Door de eeuwen heen is de nauwkeurigheid van sterrenkundige observaties sterk toegenomen.
    Hiernaast zie je dit in een grafiek weergegeven.


    a. Welk instrument maakt Hevelius' metingen nog veel nauwkeuriger dan die van Tycho? Gebruik voor je antwoord een naslagwerk.

    Bessel's bepaling van de parallax van 61-Cygni kan beschouwd worden als een empirische bevestiging van de juistheid van het Copernicaanse wereldbeeld.

    b. Verklaar dit en geef aan waarom men dit bewijs ten tijde van Kepler nog niet kon geven.

     

 


36 Het is handig als je eerst even met een spijker op die plek een gaatje slaat. (terug)

37 De declinatie van een planeet wordt veelal in zijn culminatiepunt gemeten. Mede om die reden heeft Brahe zijn grote muurkwadrant precies op de zuidelijke hemel gericht. (terug)

38 De gemiddelde afstand aarde-zon bedraagt ca. 150 miljoen kilometer, ook wel de astronomische eenheid (Ae) genoemd. De baan van de aarde om de zon is in feite een ellips, dus van dé middellijn is niet precies sprake. Sinds de metingen van Richer en Cassini is de afstand aarde-zon op diverse tijden in het jaar bekend. (terug)