Opgaven

31. Beschouw een eenvoudig systeem van twee hemellichamen A en P.
     

    P beschrijft een cirkelvormige baan om A heen. Hiernaast is dit schematisch weergegeven, waarbij alleen de straal van de cirkel en de draairichting zijn afgebeeld. Tijdens de beweging roteren de hemellichamen zelf niet, d.w.z. tijdens het ronddraaien blijven de letters rechtop staan. Het vierkantje om A geeft aan dat A als vast punt wordt genomen, terwijl P beweegt. a. Een bewoner op P beweert dat P in rust is en dat A juist rond P draait. Kun je enig bezwaar te bedenken tegen deze bewering?
    Hiernaast is de situatie weergegeven, zoals de bewoner op P die ervaart. P is in rust. b.    Is de bewegingsrichting van A hierbij wel of niet juist aangegeven?
    Nog een systeem van twee hemellichamen A en P. P beschrijft nu een epicykel om M heen, terwijl M in een cirkelvormige deferent om A draait. Hiernaast is dit schematisch weergegeven. c.    Een bewoner op P beweert dat P in rust is en dat A juist een epicykelbeweging rond P maakt. Is er enig bezwaar te bedenken tegen deze bewering?
    Hiernaast is de situatie weergegeven, zoals de bewoner op P die ervaart. d.    Geef in de figuur de bewegingsrichting van M en A aan. e.    Is het ook mogelijk dat M in rust is en dat A en P een beweging uitvoeren? Zo ja, geef de bewegingsrichting aan van A en P in de figuur hiernaast.

    
     

32. Hieronder zie je twee modellen, waarbij een planeet P een epicykelbeweging om de aarde A maakt.
     

    In het ene model beschrijft P een epicykel om M, in het andere om M'. De punten M en M' zijn zodanig gekozen dat vierhoek PMAM' een parallellogram is. De bewegingsrichtingen zijn met pijlen aangegeven. De omloopsnelheden zijn met de letters v en w aangegeven. De grootte van v is in beide modellen gelijk. Dit geldt uiteraard ook voor w.

    > Zijn de modellen gelijkwaardig? Met andere woorden, voert P in beide modellen dezelfde beweging uit?

33. 
     

    Retrograde beweging en begrensde elongatie We hebben gezien dat Ptolemaeos met zijn model de retrograde (terugkerende) beweging der planeten kan beschrijven. Hij kan het evenwel niet verklaren. Copernicus kan dit wel, door zowel de aarde als de overige planeten in een cirkelvormige baan om de zon te plaatsen. In de figuur hiernaast zie je een sterk vereenvoudigd model met Mars en de aarde. Beide planeten draaien hierbij tegen de klokrichting in. Op het moment dat Mars zich in positie M1 bevindt, is de aarde in A1. Op het verlengde van de lijn A1M1 ligt het punt P1 op een cirkel die voor het gemak even de dierenriem voorstelt. Vanuit de aarde gezien bevindt Mars zich dus in punt P1 van de dierenriem. Wanneer de aarde in A2 is aangekomen, bevindt Mars zich in M2, enz.

    a.     Bepaal de punten P₂, P₃, ..., P₁₀ op de dierenriem en verklaar hiermee de retrograde beweging van Mars.

    b.     Een denkbeeldige waarnemer op Mars kan de aarde zien bewegen. Verklaar vanuit dit gezichtspunt de retrograde beweging van de binnenplaneten ten opzichte van de aarde.

    Zoals we al eerder zagen, beschrijft Venus niet alleen een teruggaande beweging maar ook werkelijk een lus in de dierenriem. Mars doet dit ook heel duidelijk.

    c. Bedenk hiervoor een mogelijke verklaring.

    We hebben ook gezien dat Ptolemaeos de begrensde elongatie van de binnenplaneten heeft beschreven. Copernicus geeft er een verklaring voor. In zijn model is het duidelijk dat Venus (V) vanuit de aarde (A) gezien een maximale booghoek maakt in het geval dat VZ loodrecht op VA staat. Tevens kan er nu ook iets gezegd worden over de afstanden van de planeten tot de zon. d.     Stel de afstand zon-aarde op 1000. Bereken met de op blz. 29 genoemde hoeken de afstand zon-Venus en zon-Mercurius in gehelen. e. Verklaar of het mogelijk is dergelijke relatieve afstanden te berekenen met het geocentrische model van Ptolemaeos.