Opgaven

 

  1. Bepaal door constructie de kwadratuur van een gelijkzijdige driehoek met zijde 6.
     
  2. De wijze waarop men in de Griekse oudheid met rijen getallen omgaat, wordt mooi geïllustreerd in Archimedes' Kwadratuur van het Paraboolsegment.

    Archimedes komt met de eindige rij grootheden L0, L1, L2, ..., waarbij geldt L0 =4L1, L1 = 4L2, enzovoorts. We kunnen ons dit voorstellen als een serie lijnstukken, waarvan de lengte telkens een factor 4 kleiner wordt.

    Archimedes bewijst nu dat

    a.     Laat met een getallenvoorbeeld zien dat dit klopt.

    Modern vertaald zegt Archimedes hiermee dat voor iedere n de som van de reeks L0 + L1 + L2 + ... + Ln altijd 1/3Ln verschilt van 4/3L0.

    We kunnen de reeks L0 + L1 + L2 + ... + Ln ook beschouwen als een meetkundige reeks.

    b.     Wat is de factor? En wat is de som van reeks voor het geval dat n oneindig groot wordt?
     

    c.     Verklaar waarom Archimedes de uitkomst van opgave 12.a nooit als bewijs gebruikt zal hebben voor de stelling
     

  3. In zijn Cirkelmeting maakt Archimedes een schatting van het getal . Dat wil zeggen, hij benadert de verhouding tussen cirkelomtrek en straal.
    Beschouw een deel (segment) van een cirkel, zoals hiernaast.

    Een onderbenadering van de oppervlakte van het cirkelsegment is de oppervlakte O1 van driehoek MAB.

    a.     Bereken O1.

    Een bovenbenadering is de oppervlakte O2 van driehoek MCD. CD raakt aan de cirkel en loopt evenwijdig aan AB.

    b.     Bereken O2.

    c.     Toon dit aan.

    Archimedes maakt een dergelijke benadering ook voor het geval dat hoek M 30o is, en vervolgens voor 15o, 7,5o en 3,75o. Mocht je dit ook willen proberen, dan zul je ontdekken dat dit zonder rekenmachine of goniometrische tabel nog niet zo eenvoudig is. Daarnaast moet Archimedes ook de waarde van het irrationale getal benaderen. Hoe hij dit doet, is onbekend.
    Uiteindelijk komt hij tot de volgende (modern genoteerde) benaderingen

    d.     Doe een uitspraak over de nauwkeurigheid van deze waarden.

    Nu even modern. Beschouw een cirkelsegment met een willekeurige hoek x (radialen) en een straal r.

    e.    Hoeveel van deze segmenten passen in een hele cirkel met straal r?

    f.     Toon aan dat er geldt:


    g.     Wat geldt er dus voor de limietgevallen:
    en

    Het zal duidelijk zijn dat het limietbegrip allesbehalve klassiek is. Het heeft tot in het begin van de negentiende eeuw geduurd voordat men een wiskundige bevredigende manier gevonden had om met limieten om te gaan.


     

  4.  
    Kepler heeft slechts één puur wiskundig werk geschreven, Stereometria Doliorum (1615), vrij vertaald De Inhoudsbepaling van Wijnvaten. 

    Behalve de inhoud van een wijnvat bepaalt hij ook de inhoud van zo'n negentig andere ruimtelijke figuren. Hij heeft ook de oppervlakte
    bepaald van een aantal vlakke figuren, waaronder de cirkel. Hij bedient zich hierbij voornamelijk van klassieke wiskunde. Toch verschilt het duidelijk van het werk van bijvoorbeeld Archimedes. Wat betreft de cirkel verwijst hij naar de stelling die we bij Archimedes zijn tegengekomen:

    De oppervlakte van een willekeurige cirkel is gelijk aan die van een rechthoekige driehoek waarvan één van de rechthoekszijden gelijk is aan de straal, en de ander gelijk aan de omtrek van de cirkel. 


    Vrij weergegeven is zijn bewijs als volgt. Neem een klein cirkelsegment, zoals ABM hierboven. Wanneer het segment klein genoeg is, dan is het bij benadering een driehoek met de straal als hoogte. De basis van de driehoek is boog AB. Dit is bij benadering een rechte. Hij schrijft

    En we kunnen [AB] als rechte lijn beschouwen, omdat in het verdere verloop van het bewijs de cirkel opgedeeld wordt in hele kleine boogjes, die zich als rechte lijnstukken voordoen.

    Verdeel de cirkel geheel in genoemde kleine segmenten. Rol de omtrek van de driehoek uit langs een rechte lijn, zodat PQ even lang is als de omtrek. Alle driehoekjes staan dan naast elkaar. De oppervlakte van de cirkel is dus nagenoeg gelijk aan die van alle driehoekjes. Wanneer je nu oneindig veel oneindig kleine driehoekjes neemt, dan geldt er

    a.     Vergelijk dit bewijs met dat van Archimedes. Welk bewijs vind je het handigst?
    b.     Bekijk nog eens de drie ingrediënten van de exhaustie-methode. Welke ingrediënten heeft Kepler in ieder geval niet toegepast?

     

  5. Een niet streng bewijs leidt soms tot verkeerde conclusies. Nicholas van Cusa (1401-1464), een rooms-katholieke kardinaal, meent de cirkel te kunnen kwadreren. Zijn redenering is als volgt.

    Een cirkel is in feite een regelmatige veelhoek, namelijk de veelhoek met het grootste aantal zijden dat er bestaat. Iedere veelhoek kan in driehoekjes opgedeeld worden. En aangezien ik een driehoek kan kwadreren, kan ik een cirkel ook kwadreren.

    > Beschouw deze redenering. Waar zit naar uw idee de fout?

    6.