Hiernaast zie je een rechthoekige driehoek als schematische voorstelling van de positie van aarde, maan en zon op het moment van Aristarchos' waarneming.

a.     Verklaar de grootte van de hoeken, met name de rechte hoek.

b.     Controleer de bewering dat de zon 18 tot 20 maal zover van de aarde verwijderd is als de maan.

Tegelijkertijd had Aristarchos waargenomen dat de diameter van de maanschijf even groot scheen als die van de zon, namelijk 2^o aan de hemelbol. Hij concludeerde hieruit dat de diameter van de zon 18 tot 20 maal zo groot is als de diameter van de maan.

c. Geef zelf een meetkundige verklaring voor deze conclusie.

Voorlopig gaan we even uit de waarde 20.

Ten slotte gebruikte Aristarchos nog een waarneming die hij tijdens een maansverduistering had verricht. Bij een maansverduistering staat de aarde tussen de zon en de maan. Zodoende is de maan verduisterd door de schaduw van de aarde.
Aristarchos had opgemerkt dat de diameter van de maan ongeveer de helft is van de diameter van de aardschaduw. Hij bepaalde dat er twee maandiameters passen tussen intrede in de aardschaduw en uittrede (zie afbeeldingen hiernaast).

Een en ander was voor Aristarchos voldoende om een uitdrukking voor de afmetingen van zon en maan af te leiden. Vereenvoudigd ziet dat er als volgt uit.
 

In de figuur hiernaast zijn Z, A en M respectievelijk het middelpunt van zon, aarde en maan. De uiterste lichtstraal XO raakt de aarde in B en vormt vanaf hier de grens van de aardschaduw.   Noem de diameter van de zon dz, die van aarde en maan respectievelijk da en dm.

Toon aan:

d.     MN = d_m , CB = ½d_a - d_m , YX = 10d_m - ½d_a.

e.

f.     Wanneer we gebruiken , dan blijkt .

In werkelijkheid blijkt de diameter van de zon niet 7 keer zo groot als die van de aarde te zijn, maar 109 keer zo groot! Hij zat er dus behoorlijk naast. Het blijkt dat een aantal waarnemingen van Aristarchos onnauwkeurig zijn. Zo is bij halve maan de hoek tussen zon en maan niet 87^o maar 89,5^o. Bovendien past bij maansverduistering de diameter van de maan niet 2 maar 3 keer in de aardschaduw. De wiskundige aanpak van het probleem is echter van een degelijke Griekse kwaliteit.

Hiernaast zie je de ecliptica schematisch weergegeven als een cirkelvormige baan om de aarde. De baan is verdeeld in vier gedeelten. De tijdsduur staat erbij vermeld. a. Hoe lang doet de zon over een gehele omloop?

In de figuur is de aarde excentrisch getekend, zo dat iedere booghoek tussen lente-, zomer-, herfst- en winterpunt gelijk is aan 90⁰. Vanuit het middelpunt van de zonnebaan gezien zijn deze hoeken echter anders.

b.     Toon aan dat de booghoek tussen lente- en zomerpunt vanuit het middelpunt van de cirkel ongeveer 93,1^o is. Bereken ook
        de andere drie booghoeken vanuit het middelpunt.

c.     Teken een cirkel met middelpunt M en straal 5. Dit is een schematische voorstelling van de zonnebaan.

Geef met behulp van de zojuist berekende booghoeken nauwkeurig aan waar zich op deze cirkel lente-, zomer-, herfst- en winterpunt bevinden. Neem het zomerpunt precies bovenaan.

d.     Geef in dezelfde tekening aan waar de aarde (A) zich bevindt.
 

Als het goed is ligt de aarde A enigszins van het middelpunt M verwijderd. In dit geval is de excentriciteit van de aarde gedefinieerd als de verhouding van de afstand AM en de straal van de cirkel.

e.     Geef met behulp van de tekening een schatting van de excentriciteit van de aarde in dit model.

Voor de buitenplaneten Mars, Jupiter en Saturnus (14) gebruikt Ptolemaeos een excentrisch model met een epicykel. Laten we als voorbeeld de planeet Mars nemen. De deferent heeft een straal R1 om een middelpunt M, dat op een zekere afstand e van de aarde (A) gelegen is. Voor alle planeetmodellen neemt Ptolemaeos als standaardwaarde R1=60. Voor Mars heeft hij de waarde van e bepaald op 6.

Op het verlengde van lijnstuk AM ligt E zodat AM=AE=e. E is een vereffeningspunt. De hoek tussen de lijnen AE en EC is α.

b.    Toon aan:

Laten we een en ander in een coördinatenstelsel plaatsen. We gaan uit van het geocentrische wereldbeeld, dus laten we als oorsprong A(0,0) nemen. De X-as gaat door A, M en E.

c.     Toon aan: 

 

Punt C doorloopt de deferent met een constante hoeksnelheid ten opzichte van E (!) en wel zo dat =360^o na 687 dagen. ⁽¹⁵⁾

d.     Op een zeker tijdstip geldt =0.

i.      Bereken de coördinaten van C op dat tijdstip. Bereken ze ook 4 weken later, een jaar later en 3 jaar later.
ii.     Bereken hoeveel dagen later de lijn AC voor het eerst loodrecht op lijn AE staat.

e.     Maak een parametervergelijking van dit model voor x_C(t) en y_C(t). Hierbij is t het aantal dagen na =0. Laat voor één
        omwenteling de bijbehorende parameterkromme tekenen op je grafische rekenmachine.

f.     Maak met behulp van je GR een schatting van het tijdstip na =0 waarop de deferent het snelst doorlopen wordt.
 

De planeet P, in dit geval dus Mars, voert een epicykel uit rond  punt C. Voor punt P geldt:      P voert een eenparige cirkelbeweging uit om C waarbij één omloop precies een jaar duurt. Ptolemaeus geeft voor R2 de waarde 39,5. g.   Stel met deze gegevens een parametervergelijking op voor        xP(t) en yP(t).   Hierbij is t het aantal dagen na =0. Neem tevens ß=0 als t=0.

h.   Laat de bijbehorende kromme tekenen door je GR, waarbij t de grenzen 0 en 687 heeft. Als je het goed gedaan hebt, ziet de kromme eruit zoals hiernaast. Ptolemaeus heeft hoogstwaarschijnlijk nooit een dergelijke kromme getekend. Zijn voornaamste doel was het voorspellen van de positie van de planeten aan de hemel. We hebben al eerder gezien dat alle planeten op één na in een smalle strook bewegen aan weerszijden van de ecliptica, de dierenriem. Welnu, met zijn model is hij in staat om vrij nauwkeurig op ieder gewenst tijdstip de positie van de planeten in de dierenriem te bepalen.

i.   Bepaal de hoek die de planeet Mars maakt met de denkbeeldige       lijn AE op tijdstip t=90, t=136, t=365 en t=440. Opvallend is dat de positie tussen t=365 en t=440 nauwelijks veranderd is. De planeet is zelfs 'teruggelopen' van ca 225o tot ca 212o. Hij maakt dan een retrograde beweging. In de kromme is dat te herkennen aan de 'lus'.

Over binnen- en buitenplaneten




 

Wanneer de aarde zich tussen een planeet en de zon bevindt, dan spreken we van oppositie. Het zal duidelijk zijn dat alleen de buitenplaneten, zoals Mars, Jupiter, Saturnus in oppositie met de zon komen.

Bij deze buitenplaneten is het opmerkelijk dat de retrograde beweging altijd optreedt zodra de planeet in oppositie met de zon staat. Ptolemaeus heeft dit met zijn model kunnen beschrijven.

In de afbeelding hiernaast draait de zon (Z) eenparig om de aarde (A) met straal AZ. Een buitenplaneet (P) draait eenparig om het middelpunt (M) van een epicykel. M beschrijft de deferent met straal AM. Ptolemaeus stelt nu dat de stralen AZ en MP altijd evenwijdig blijven. a.   Wat kun je zeggen over de afstand ZP tijdens de bewegingen? Klopt dat met ons moderne wereldbeeld? b.   Leg uit dat in dit geval de retrograde beweging van P inderdaad alleen in de buurt van de oppositie met Z optreedt.

Met de binnenplaneten is ook iets bijzonders aan de hand. Al in het oude Babylonië wist men dat Venus en Mercurius altijd in de buurt van de zon blijven bij het doorlopen van de dierenriem. Venus loopt hooguit 46^o weg van de zon en Mercurius hoogstens 28,5^o. Dit verschijnsel noemt men ook wel begrensde elongatie (= verwijdering). Als gevolg hiervan zijn de binnenplaneten slechts waarneembaar vlak voor zonsopgang en vlak na zonsondergang. Mercurius is hierdoor zelfs zeer moeilijk zichtbaar.

Ptolemaeus heeft de begrensde elongatie als volgt beschreven. Hij zorgt dat het middelpunt van de epicykel van een binnenplaneet altijd op de lijn tussen zon en aarde ligt.

c.     Laat met behulp van een schets zien dat op deze manier de begrensde elongatie beschreven wordt.

Met het model van Ptolemaeus is niets te zeggen over werkelijke afstanden. Ptolemaeus zegt dat het middelpunt van de epicykel van een binnenplaneet altijd op de lijn tussen zon en aarde ligt. Maar hij zegt niet waar dat middelpunt nu precies op die lijn ligt. Alleen relatieve afstanden zijn te bepalen. Ptolemaeus vermeldt in de Almagest bijvoorbeeld de volgende waarden met betrekking tot deferent en epicykel.

Bij iedere planeet neemt hij dus voor de deferent-straal standaard de waarde 60. Voor Venus is de verhouding van epicykel-straal tot deferent-straal gelijk aan de verhouding van 43;10 tot 60.