Onderzoeksopgaven

 

  1. [G] Ptolemaeos' model van de beweging van de maan 
     

    We hebben gezien dat klassieke planeetmodellen er vooral op gericht waren om op gewenste momenten de plaats in de dierenriem te voorspellen. Daarnaast wil men in de oudheid de positie van de planeet ten opzichte van de zon weten. Een en ander speelt ook een grote rol bij de bewegingsmodellen van de maan. Ptolemaeos vermeldt in de Almagest een drietal bewegingsmodellen van de maan, van vrij grof tot zeer verfijnd. We bekijken de tweede.

    Het blijkt dat de maan niet precies een eenparige cirkelbeweging om de aarde maakt. Soms beweegt ze sneller en dan weer langzamer. Om dit verschijnsel te beschrijven maakt Ptolemaeos gebruik van een deferent die met een 'scharnierende' straal om de aarde draait.

    In de figuur hiernaast beschrijft de maan M een epicykel om C met straal R3. C doorloopt een deferent om de aarde A, waarbij de straal AC scharniert in B. Het model ziet er nu als volgt uit:

     

    I. De zon Z draait om de aarde met een hoeksnelheid (t.o.v. een vast punt aan de hemel (0o), tegen de klok in).

    II. Punt C doorloopt de deferent met hoeksnelheid ß (t.o.v. de positie van Z, tegen de klok in). De straal r varieert en hangt af van de vaste afstanden AB=R1 en BC=R2.

    III. Hulppunt B draait om A t.o.v. de positie van Z, eveneens met hoeksnelheid ß, maar nu met de klok mee.

    IV  De maan M doorloopt een epicykel rond C met een hoeksnelheid t.o.v. het verlengde van AC (met de klok mee).

    Ptolemaeos geeft bij dit model ook de waarden van de afstanden en de hoeksnelheden. Voor het gemak bij het rekenen ronden we een aantal van deze waarden enigszins af. R1=10, R2=50 en R3=5.


    a.     Ga uit van een coördinatenstelsel met A als oorsprong en 0o op de positieve x-as.

    Toon aan dat voor de coördinaten van M geldt:

     

     

    waarbij .

    De volgende hoeksnelheden zijn hierbij gegeven:

    α: 360o in 365 dagen

    ß + : 13o10' per dag

    γ: 13o4' per dag

    b.     Stel van dit model een parametervoorstelling op als functie van t (in dagen). Toon de kromme van één omwenteling m.b.v je grafische rekenmachine.
     

    Zoals reeds eerder gezegd was voor Ptolemaeos dit model slechts van belang om de positie van de maan aan de hemel te bepalen.

    c.     Geeft dit model ook een goede beschrijving van de afstand aarde-maan? Verklaar je antwoord.



     

  2. [*] In 1671 proberen de Fransman Jean Richer en de Italiaan Domenico Cassini de afstand van de aarde tot de zon te bepalen. Ze gebruiken hierbij ondermeer de parallax van Mars.
    Bij deze meting wordt de basis gevormd door de afstand van Parijs tot Cayenne (Frans Guyana). Bij hun berekeningen komen Richer en Cassini uit op een horizontale parallax van maximaal 25", wanneer Mars in oppositie staat met de zon.


    a. Zoek in een atlas de geografische lengte en breedte van Parijs en Cayenne op.

    b. Bereken met de gegevens de afstand Mars-aarde. Zal de afstand Mars-aarde doorgaans groter zijn dan het antwoord hierboven? Of kleiner? Verklaar je antwoord.

     


     

  3. [*] Zoals je weet, kunnen we de ellips en de parabool als kegelsneden beschouwen. Dat geldt ook voor de lijn en de cirkel. Ook deze kunnen de snijfiguur zijn van een kegel en een vlak. De kegelsnede die nog niet echt aan bod is gekomen, is de hyperbool.
     
    a. Zoek in een wiskundig naslagwerk de eigenschappen op van de hyperbool. Met welke vergelijking(en) wordt de hyperbool weergegeven in de analytische meetkunde? Onderzoek de betekenis van de asymptoten. Wanneer is er sprake van een orthogonale hyperbool?


    Een veelgebruikte definitie van de hyperbool is de volgende:

    De verzameling punten waarvan het verschil in afstand tot twee gegeven punten P en Q constant is, vormen samen een hyperbool.

    b. Kies een geschikt xy- assenstelsel. Laat zien dat de verzameling

    een vergelijking oplevert zoals in a.

    Gegeven zijn twee punten P en Q (zie afbeelding). Een cirkel met straal r heeft P als middelpunt. Een halve lijn met grenspunt P snijdt de cirkel in R, en de middelloodlijn van QR in punt X. Terwijl R een deel van de cirkel beschrijft, beschrijft X een kromme.

    c.     Toon aan dat deze kromme een hyperbool is.


    d.     Wordt de kromming van de hyperbool groter of kleiner, als de afstand PQ groter wordt in verhouding tot de straal van de cirkel?

    e.     Hoe groot moet de afstand PQ zijn, opdat de kromme een orthogonale hyperbool is.

    In het boek De Organica Conicarum Sectionum in Plano Descriptione Tractatus van de Leidse wiskundige Frans van Schooten (1615-1660) komen een aantal 'kegelsnedetrekkers' voor, waaronder de hyperbolentrekker hiernaast. We zijn hem reeds eerder tegengekomen.

    In de punten C en F zit het apparaat draaibaar vastgepind op het papier. Bij D en G zitten scharnieren en bij B kan een potlood in de kruising van de gleuven heen en weer worden geschoven. De lengte van CD is gelijk aan die van FG.

    f.    Laat zien dat de met dit apparaat verkregen kromme inderdaad een hyperbool is.

    De lat DG kan korter of langer gemaakt worden.

    g.   In welk speciaal geval ontstaat er een orthogonale hyperbool?
    Het apparaat hiernaast is afkomstig uit een vroeger handschrift van Van Schooten, Problemata Astronomica et Geometrica genaamd. Een lat is draaibaar vastgepind in punt K. Een niet elastisch koord is in X aan de lat vastgemaakt en in H met een pin in het papier vastgezet. Bij B wordt het koord met een potlood tegen de lat aangedrukt, zodat beide delen van het koord strak zitten. Terwijl de lat om K draait beschrijft het potlood een kromme.


    h. Welke kromme ontstaat hierbij?

    Het koord kan korter en langer gemaakt worden.

    i. Beschrijf de invloed hiervan op de kromme.

     
  4. [*] Kepler heeft nooit exact de omtrek van de ellips of de lengte van een deel daarvan kunnen berekenen. Nu is dat geen wonder. Zelfs met moderne middelen is dat heel lastig. Een van die moderne middelen is de differentiaal- en integraalrekening. Zoals je weet, kun je hiermee in sommige gevallen de booglengte van een kromme berekenen. Zij y = f(x) de vergelijking van een kromme in het xy-vlak, dan is de booglengte tussen x = a en x = b te berekenen met

    a.     Bereken hiermee de omtrek van een cirkel met straal 1.

    b.     Laat zien de berekening van de omtrek van een ellips (met lengte lange as 4 en lengte korte as 2) hierbij tot problemen leidt.

     

  5. a.     Controleer of de derde wet van Kepler opgeld doet voor alle planeten. Gebruik hiervoor de gegevens van de planeten uit de tabel van opgave 41. Geef aan wat je als planeetafstand gebruikt bij excentrische planeten.
     

    Naast de bekende planeten bevat ons zonnestelsel ook een groot aantal planetoïden. Dit zijn rotsblokken van enkele meters tot kleine planeten van een paar honderd kilometers doorsnede. De meeste van deze brokstukken bevinden zich in een gordel tussen Mars en Jupiter. Hieronder zie je de gegevens van twee van de grootste planetoïden.

     
    planetoïde lengte lange as (in Ae) excentriciteit omlooptijd (in jaren)
    Ceres
    5,53
    0,078
    4,60
    Vesta
    4,72
    0,091
    3,63

    b.     Voldoen Ceres en Vesta aan de derde wet van Kepler? Zijn ze wat dat betreft vergelijkbaar met de grote planeten?