Kegelsneden

 

Van oudsher worden de cirkel en de bol als de meest harmonieuze wiskundige figuren beschouwd. In de harmonie der sferen spelen zij een centrale rol. Het uitspansel is doortrokken van goddelijke harmonie en de beweging van de hemellichamen moet wel gelijkmatig en cirkelvormig zijn. We hebben gezien dat waargenomen afwijkingen van deze harmonie met behulp 'harmonieuze trucjes' zoals excentriciteit en epicykels verklaard kunnen worden. Copernicus haalt in zijn werk de aarde uit het middelpunt, maar hij beschouwt de planeetbanen onverminderd cirkelvormig. Johannes Kepler brengt hier allengs verandering in.
Kepler is een geniaal wiskundige, die de wiskundige technieken van zijn tijd volledig beheerst. Laten we eens kijken hoe men in zijn tijd krommen beschouwde. Vrijwel alle meetkunde van die tijd stamde uit de Griekse traditie.

In de Griekse oudheid waren er een drietal typen krommen bekend:

Laten we als voorbeeld de parabool bekijken. Kepler kende deze kromme als een snijkromme van kegel en vlak - een kegelsnede. Apollonios van Perga (vermoedelijk 262 - 190 v. Chr.), een jongere tijdgenoot van Archimedes heeft een beroemd standaardwerk over kegelsneden geschreven, de Conica. Hier volgt een sterk vereenvoudigde weergave van de manier waarop hij de parabool beschouwt.

De kegel is bij Apollonios als volgt gedefinieerd:

Laat een rechte lijn, onbepaald van lengte en altijd gaande door een vast punt (T) langs de omtrek van een cirkel (c) bewegen, die niet in het zelfde vlak als T ligt, zo dat successievelijk ieder punt van die omtrek doorlopen wordt. Deze bewegende rechte lijn zal nu de mantel van een dubbele kegel beschrijven.

In de figuur hiernaast is slechts één deel van de dubbele kegel
weergegeven. Apollonios gebruikte voor de kegelsneden een
scheve kegel, d.w.z. een kegel waarvan de loodrechte projectie
van de top T op vlak V niet perse samenvalt met het middelpunt M
van de cirkel.

 
In de cirkel hiernaast is KL een diameter van de cirkel. AB is een koorde van de cirkel die door de diameter loodrecht middendoor wordt gedeeld. De helften van de koorde (PA en PB) worden ook wel ordinaat van de diameter genoemd.

Bij de cirkel hebben diameter en ordinaat de volgende eigenschap:

Dit volgt bijvoorbeeld uit de gelijkvormigheid van de driehoeken KPA en APL. Het is dat er geen x-en en y-en in staan, maar als we goed kijken, kunnen we hier al de vergelijking van de cirkel in onderscheiden.

 

Evenals bij een cirkel onderscheiden we bij kegelsneden diameters en ordinaten. Apollonios heeft voor de diameters en de ordinaten gelijksoortige 'vergelijkingen' als hierboven afgeleid.

In de figuur hiernaast is KL een diameter van de cirkel en AB is een koorde. Laat een vlak door AB en evenwijdig aan TL de kegel snijden. De snijfiguur is een parabool. De zojuist gevonden 'vergelijking' van de cirkel is nu eenvoudig om te zetten naar eentje voor de parabool.



Bij een centrale projectie vanuit T op het vlak ABS heeft de cirkel de parabool als beeld. Daarbij is S het beeld van K en A en B zijn hun eigen beeld. Het beeld van L is een oneindig ver punt (28). De diameter KL van de cirkel heeft als beeld de halve lijn SP met grenspunt S. Dit is de overeenkomstige diameter van de parabool.


 

 

De verhouding tussen PS en PK is gelijk aan de verhouding tussen TL en KL. Deze verhouding is slechts afhankelijk van de vorm van de kegel.

Wanneer vlak V evenwijdig verschuift, naar boven of naar onderen, terwijl de kegel vanaf nu onveranderd van vorm blijft, zal de snijcirkel van V en de kegel van grootte variëren. Tevens zullen dan de punten A en B keurig de parabool beschrijven, en daarbij blijft het lijnstuk PL constant van lengte (PL=SQ)!

Definieer nu een lijnstuk l, zodat . Uit voorgaande zal duidelijk zijn dat l, de zogenaamde latus rectum een lijnstuk van constante lengte is, alleen afhankelijk van de vorm van de kegel en de ligging van het snijvlak ABS. De 'vergelijking' van de parabool wordt nu:

Wanneer we PS y noemen en de ordinaat PA x, dan herkennen we meteen de ons vertrouwde vorm


Een paar opmerkingen:
  1. Bij deze afleiding is de diameter van de parabool niet noodzakelijkerwijs de symmetrie-as. Dit is alleen het geval wanneer T' (de loodrechte projectie van T op V) op lijn KL ligt.
     
  2. De lengte van de latus rectum kan gevonden worden uit de uitdrukking . Wanneer we het herschrijven als blijkt dat de rechthoek met zijden SQ en KL dezelfde oppervlakte moet hebben als de rechthoek met zijden TL en de onbekende l.
     
  3. Vlak V en snijvlak ABS hebben een snijlijn (AB) gemeen. Telkens wanneer vlak V evenwijdig omhoog schuift, bij onveranderde kegel, zal deze snijlijn twee snijpunten met de parabool hebben, die een koorde vormen. Al de zo gevormde koorden zijn evenwijdig.

    Tot het moment dat punt S bereikt wordt. Dan is er nog maar één snijpunt. De bewuste snijlijn is nu de raaklijn in S aan de parabool geworden. Deze raaklijn is tevens raaklijn aan de cirkel en is evenwijdig aan de zojuist beschreven koorden.

    Nemen we daarbij de 'vergelijking' van de parabool in ogenschouw, dan is het duidelijk dat de parabool 'zich kwadratisch verwijdert' van zijn raaklijn (in de richting van de diameter). Archimedes heeft dit onder andere gebruikt bij zijn kwadratuur van het paraboolsegment.
     

  4. Een van de gevolgen van het feit dat de parabool, zoals we die hier als kegelsnede verkregen hebben, zich kwadratisch verwijdert van zijn raaklijn, is dat de diameters allemaal evenwijdig lopen. Onder deze diameters bevindt er zich altijd één die loodrecht op zijn ordinaten staat, namelijk de symmetrie-as.
     

Als we de 'vergelijking' van de parabool toepassen op de symmetrie-as en zijn ordinaten, dan vinden we nog een kenmerkende parabooleigenschap: Alle punten van een parabool hebben gelijke afstand tot een vast punt (brandpunt F) en een vaste lijn (richtlijn m).

Voor het bewijs hiervan herschrijven van de vergelijking:

 

Nemen we op ¼l afstand onder S een punt F op de as, en nemen we op ¼l afstand boven S een lijn m loodrecht op de as, dan kunnen we bovenstaande uitdrukking ook als volgt vertalen:


Tot zover deze verhandeling over kegelsneden. Tegenwoordig beschouwen we dergelijke krommen niet langer zuiver meetkundig. In onze moderne manier van beschrijven - de analytische meetkunde - speelt algebra een belangrijke rol.

Een mogelijke definitie van analytische meetkunde is:
Het gebruik maken van coördinatenstelsels en algebraïsche methoden in de meetkunde. In een coördinatenstelsel wordt een punt voorgesteld door een verzameling getallen (coördinaten) en een kromme wordt voorgesteld door een vergelijking, waaraan een bepaalde verzameling punten voldoet. De meetkundige eigenschappen van krommen en figuren kunnen zo worden onderzocht met behulp van algebra.

De eerste wiskundigen die meetkundige constructies en krommen met algebra beschrijven, treffen we pas aan in de zeventiende eeuw: René Descartes en Pierre Fermat. De Géométie van Descartes (1637) is een monument in de geschiedenis van de wiskunde. Wanneer dit werk eenmaal bekendheid krijgt, nemen anderen de Cartesiaanse wiskunde over en komt het systematisch onderzoek naar krommen in volle gang. De algebra, ontdaan van de homogeniteits-eis, blijkt een krachtig hulpmiddel bij het analyseren van de meetkunde. Wanneer tegen het einde van de zeventiende eeuw ook de infinitesimaalrekening tot ontwikkeling is gekomen, kan vrijwel de gehele klassieke meetkunde onder het mes worden gelegd, en moet deze nagenoeg al haar geheimen prijsgeven. Sindsdien zijn de kegelsneden verbannen naar geschiedenisboekjes.

 

28 Oneindig verre punten spelen een belangrijke rol in de projectieve meetkunde van Girard Desargues (1591-1661), die het werk van Apollonios in een nieuwe gedaante vereenvoudigd en inzichtelijker gemaakt heeft. (terug)