De wetten van Kepler
| Wetenschappelijke omwentelingen vinden dikwijls plaats
door een herschikking van oude denkbeelden. Dit geldt
voor het werk van Copernicus, maar ook zeker voor dat
van Johannes Kepler. Kepler is een hoogst origineel en
begaafd wis- en sterrenkundige. In 1596 publiceert hij
zijn eerste astronomische werk, Mysterium Cosmographicum (39). In dit werk gaat hij uit van Copernicus' heliocentrische wereldbeeld. Daarnaast is het doortrokken van
Platonische denkbeelden. Om de zon heen verdeelt hij de
vijf eerder genoemde Platonische veelvlakken zodanig dat
er telkens één tussen de sferen der planeten komt te liggen. Hij plaatst een kubus tussen de baan van Saturnus en
Jupiter, een tetraëder tussen Jupiter en Mars, een
dodecaëder tussen Mars en de aarde, een icosaëder tussen
de aarde en Venus en een octaëder tussen Venus en
Mercurius. Kepler is altijd op zoek naar de harmonie van het heelal op grond van perfecte wiskundige wetmatigheden. In een van zijn latere hoofdwerken, Harmonices Mundi (1619), weet hij zelfs de afstanden van de planeten tot de zon te herleiden tot Pythagoreïsche toonsafstanden. Kepler beschouwt zichzelf hierbij als een doorgronder van Gods plan:
|
 |
Ik voel me vrij om me over te geven aan de heilige dwaasheid, ik voel me vrij om stervelingen te honen met de vrijmoedige bekentenis dat ik de Egyptenaren de gouden tempelvaten ontsteel, opdat ik ze ombouw tot een tempel voor mijn God, ver weg van het Egypteland. Wanneer u meent mij een dwaling te moeten vergeven, zal ik mij verheugen. Wanneer u woedend op mij bent, zal ik het dulden. De teerling is geworpen, en ik schrijf het boek - ongeacht of het door mijn tijdgenoten gelezen wordt of het nageslacht. Wat maakt het uit of het nog honderd jaar moet wachten op zijn lezer, wanneer God Zelf al zesduizend jaar in afwachting is geweest voor Zijn doorgronder. |
 |
In de elfde eeuw hadden Arabische astronomen al geopperd dat de planeten geen zuiver cirkelvormige banen doorlopen. Kepler vermeldt dit ook in zijn Astronomia Nova (40) (1609). Dit idee is dus niet geheel nieuw. Het is echter revolutionair dat hij het wiskundige bewijs levert dat het hierbij om elliptische banen gaat. Met dit opzienbarende resultaat maakt Kepler zich onsterfelijk voor het nageslacht. Het is een lange worsteling geweest voordat hij het bewijs heeft kunnen leveren. Laten we in het kort iets van deze worsteling bekijken.
Aangezien Kepler zelf geen groot observator is gebruikt hij Tycho's metingen aan de planeet Mars. Hij onderwerpt ze aan een nauwgezet onderzoek. Zo stelt hij bijvoorbeeld een tabel op met daarin tijdstip en positie van Mars, telkens wanneer deze planeet in oppositie is met de zon. De waarnemingen hiervoor bestrijken de periode van 1580 tot begin 1600. Dit alles levert hem een aantal uiterst nauwkeurige posities van Mars, verdeeld over zijn gehele baan om de zon. Doordat hij bij alle metingen ook nauwkeurig de positie van de zon ten opzichte van de aarde kent, weet hij ook de baan van de aarde om de zon te bepalen.
Kepler komt tot de conclusie dat de gevonden posities niet overeenstemmen met een excentrische cirkelbeweging. De excentriciteit blijkt niet constant te zijn. Kepler prijst Tycho om zijn nauwkeurige waarnemingen, want had hij waarnemingen van Tycho's voorgangers gebruikt, dan was een en ander door de veel grotere foutenmarge niet aan het licht gekomen. Bovendien blijkt de baansnelheid niet constant te zijn. Mars blijkt dichterbij de zon sneller te bewegen en juist langzamer wanneer hij verder van de zon verwijderd is. De tijd die de planeet over gelijke bogen doet is kennelijk evenredig met de afstand tot de zon.
Dit wijst op de zon als regelaar van de snelheid; en dan ziet men direct de logica: zoals een gewicht aan een lange hefboomsarm zwaarder te tillen is, zo is de planeet op grote afstand moeilijker door de van de zon uitgaande werking voort te bewegen dan op kleinere afstand. Nu stijgt de zon tot een nog hogere rang dan ze al bij Copernicus had; zij is niet enkel de bron van licht en warmte voor het gehele stelsel der planeten; zij is ook de bron van de kracht die hen beweegt.(21)
Na een langdurige analyse komt hij tot conclusies die later de geschiedenis zijn ingegaan twee van Keplers bewegingswetten voor de planeten. De tweede hiervan luidt (de eerste heeft hij later gevonden):
Dit wordt ook wel de perkenwet genoemd.
In de figuur hiernaast beschrijft een planeet een elliptische baan om de zon (Z). De planeet doet even lang over de afstand PP' als over QQ'. Nu blijkt de oppervlakte van perk ZPP' gelijk aan die van perk ZQQ'. Kepler beschouwt hierbij een perk als een maat voor de som van alle hierin liggende voerstralen. We herkennen hierin een voorloper van de latere integraalrekening.
Vrij vertaald betekent de perkenwet dat een planeet dichtbij de zon (op afstand b) een hogere snelheid heeft dan verder af (op afstand a). De hoogste snelheid heeft een planeet in het perihelium, het punt van de planeetbaan dat het dichtst bij de zon ligt. En ze beweegt het traagst wanneer de afstand tot de zon het grootst is, in het aphelium.
Uit Keplers berekeningen blijkt dat de planeetbaan niet cirkelvormig is maar ovaal. Een tijdlang zoekt hij zonder resultaat naar de exacte vorm hiervan. Ondertussen heeft hij het grootste deel van zijn schrijfwerk klaar. Hij neigt ertoe om het te publiceren. Dit levert hem overigens nog forse problemen op met de erfgenamen van Tycho Brahe. Terwijl hij zijn werk als vrijwel afgerond beschouwt - hij heeft dan al een proefversie aan keizer Rudolf II gezonden -, realiseert hij zich dat de zijdelingse samendrukking van de baan voldoet aan een eigenschap van een vrijwel cirkelvormige ellips (zie opgave 38). Zo komt hij tot de eerste bewegingswet:
Op het laatste moment bewerkt Kepler zijn geschrift met de theorie van de elliptische planeetbanen.
We kunnen genoemde wetten en de achterliggende gedachten gerust revolutionair noemen. Ik noem drie redenen.
Kepler is een genie. Hij beheerst de wiskunde van zijn tijd. De wiskunde speelt in zijn werk een hoofdrol en dat is misschien wel het belangrijkste aspect van Kepler's werk. In de toekomst zal deze rol alleen maar groter worden. Hij is zich echter wel bewust van het feit dat wiskundige verhandelingen het werk soms minder goed leesbaar maken.
In zijn Astronomia Nova schrijft hij:
Het is tegenwoordig uiterst moeilijk om wiskundige boeken te schrijven, vooral over sterrenkunde. Want de verklaringen, de bewijzen en de conclusies zullen niet wiskundig zijn, tenzij er gebruik is gemaakt van een exacte uiteenzetting in de stellingen. Indien hier daadwerkelijk gebruik van is gemaakt zal het nauwelijks leesbaar zijn ...
Vandaar dat er tegenwoordig weinig lezers bedreven hierin zijn. Zulke werken worden door de meesten veracht en afgewezen. Hoeveel wiskundigen zijn er die zich de moeite getroosten om de 'Conica' van Apollonios van Perga geheel door te lezen? Terwijl zijn werk zich nog veel beter dan de sterrenkunde leent voor een verklaring door middel van figuren.
In 1618 geeft Kepler een lijvig werk uit over de Copernicaanse sterrenkunde. Hierin wordt voor het eerst een zonnestelsel geschetst met elliptische voor de andere planeten. Met name Mercurius blijkt een sterk excentrische ellipsbaan te doorlopen.
Kepler is ook actief op het gebied van de optica. In een werk uit 1612 beschrijft hij de beeldvorming van een object met behulp van een of meerdere bolle lenzen. Hij loopt hiermee vooruit op de toekomstige telescopen. Zelf heeft hij ze echter nooit ontworpen.
In het eerder genoemde werk Harmonices Mundi vinden we ten slotte Keplers derde bewegingswet der planeten:
Het is enigszins ironisch dat uit de Harmonices Mundi alleen deze wet door het nageslacht is omarmd. De rest van het door Kepler zelf zo hoog geachte werk is in later tijd als curieus, mystiek en onbruikbaar ter zijde geschoven. Tegenwoordig beschouwt men Keplers Astronomia Nova als zijn absolute meesterwerk.
De sterrenkundige tabellen die Kepler op basis van zijn eigen theorie ontworpen heeft, zijn voor een aantal volgende generaties van groot belang. Dit zijn de zogenaamde Rudolfijnse tafels, opgedragen aan de keizer. Gedurende de hele zeventiende eeuw vormen ze de basis voor de praktische sterrenkunde.
Ooit was de kleine Johannes ter wereld gekomen in een armoedig gezin uit de Zwabische stad Weil. Hij had een zwak gestel en was vaak ziek. Voor zware arbeid was hij ongeschikt en zijn ouders kozen voor hem een geestelijke loopbaan. Zijn fascinatie voor de wiskunde en de astronomie dankte Kepler aan Michael Mästlin, een leraar op het lutherse seminarie in Tübingen. Hij bracht de jonge Kepler in aanraking met de ideeën van Copernicus.
Fascinatie, scherpzinnigheid, werklust en geduld hebben Kepler ondanks soms barre levensomstandigheden gemaakt tot de wegbereider van de moderne astronomie. Zoals gezegd streefde hij het Platonische ideaal na van harmonie en eenvoud in de wereld der hemellichamen. Maar hij was tegelijkertijd zo kritisch ten aanzien van zowel bestaande als nieuwe eigen theorieën dat hij stap voor stap de harmonie der sferen ontdaan heeft van oude denkbeelden. Meermaals deelt hij aan zijn lezers openhartig zijn dwaalwegen en vergissingen mee. Zo schrijft hij in zijn Astronomia Nova: Wie had dit gedacht? Deze hypothese ... gaat in rook op.
Zijn wiskundige wetten verklaren nauwkeurig hoe de loop der planeten is. Ze vormen de basis voor het werk van de astronomen van de moderne tijd. Ze inspireren Newton tot de verklaring waarom de planeten zo bewegen, de zogenaamde gravitatiewetten. Bovenal vormen Kepler's wetten de onmiskenbare bevestiging van Copernicus' heliocentrische wereldbeeld. In Giordano Bruno en Galileo Galilei vindt hij vurige medestanders en voorvechters van dit wereldbeeld. Het werk van Galilei betekent een grote publieke promotie van Copernicus' ideeën, vooral omdat zijn geschriften goed leesbaar zijn voor leken. In tegenstelling tot vrijwel alle wetenschappelijke publicaties uit die tijd zijn ze geschreven in de volkstaal. Kepler's werk is verschenen in de wetenschappelijke taal van die tijd, het Latijn. En omdat Kepler niet altijd even helder schrijft, is zijn werk niet bijster toegankelijk gebleken voor zijn tijdgenoten. Hij ontmoet in het noordelijk Duitsland begrip voor zijn ideeën.
Bruno en Galilei komen in conflict met de Kerk van Rome. Onder invloed van de contrareformatie zijn veel werken op de index van verboden geschriften geplaatst, waaronder ook De Revolutionibus. Hoe het met Bruno is afgelopen hebben we aan het begin reeds gezien. Galilei moet in 1616 voor het eerst voor de inquisitie verschijnen om zich te verantwoorden over zijn heliocentrische denkbeelden. Deze zijn in strijd met de Heilige Schrift. In 1635 wordt Galilei door de inquisitie gedwongen de Copernicaanse leer af te zweren. Johannes Kepler heeft dit niet meegemaakt. Hij is dan reeds vijf jaar dood. Uitgeput, na een arbeidzaam en zwaar leven, is hij op 15 november 1630 in Regensburg overleden.
In de tweede helft van de zeventiende eeuw wordt Copernicus' wereldbeeld langzamerhand gemeengoed onder sterrenkundigen. Van de hand van de grote wis- en natuurkundige Christiaan Huygens verschijnt aan het einde van de zeventiende eeuw een werk genaamd Cosmotheoros. Dit boek is in het begin van de achttiende eeuw zo populair in de Lage Landen dat er een Nederlandse vertaling van verschijnt. Hierin lezen we:
... dat thans ter tijd alle Starreloopkundige, indien zy nie van een al te traag vernuft, of uit menschelijke overheering al te ligtgeloovig zijn, zonder de minste twijfeling vast stellen, dat de Aarde draait, en een van de Dwaalstarren is. (43)
De Kerk in Rome heeft uiteindelijk het verbod op het werk van Copernicus pas in 1835 opgeheven. Mede door de halsstarrige houding van de Kerk in deze zijn geloof en wetenschap op den duur ver van elkaar verwijderd geraakt. Men heeft er veel de spot mee gedreven, zoals in onderstaand fragment uit Galilei van Bertolt Brecht. Hierin is de oude eerbiedwaardige geleerde postuum aan het woord.
Ik voorspel, dat wij het nog zullen beleven dat op de markten over astronomie wordt gesproken. Zelfs de zonen van de visvrouwen zullen naar school gaan. Want het zal de nieuwlichters in onze steden van pas komen, dat een nieuwe astronomie nu ook de aarde op gang heeft gebracht. Er is altijd beweerd, dat de sterren aan een kristallen gewelf zijn vastgeplakt, zodat ze niet omlaag kunnen vallen. Nu hebben wij moed gevat en laten ze vrijelijk zweven zonder steunpunt en ze gaan met grote snelheid, net als onze schepen, zonder steunpunt en met grote snelheid. En de aarde draait vrolijk om de zon en de visvrouwen, kooplieden, vorsten en kardinalen en zelfs de paus draaien met haar mee.
39 De eigenlijke titel is Podromus Dissertationem Cosmographicarum, continens Mysterium Cosmographicum de Admirabili Proportione Orbium Coelestium. (terug)
40 Eigenlijke titel: Astronomia Nova, Aitiologètos, seu Fysica Coelestis. (terug)
41 Pannekoek (1951), p195. (terug)
42 Derde-machten (terug)
43 De vertaling is van Pieter Rabus. Dwaalstarren is een oud woord voor planeten. (terug)