De kwadratuur

 

Een kenmerkend begrip in de Griekse wiskunde is het begrip kwadratuur. Als wij in onze huidige wiskunde de grootte van een meetkundig figuur (de lengte van een lijnstuk, de oppervlakte van een veelhoek, enz.) willen bepalen, dan meten wij het. Bijvoorbeeld in het geval van een oppervlakte nemen we een eenheidsoppervlak en bepalen hoe vaak deze eenheid in de figuur past, die we moeten meten. Wanneer we beweren dat de oppervlakte van een cirkel met straal 2 ongeveer gelijk is aan 12,6 zeggen we eigenlijk dat de cirkel bedekt kan worden met 12 (eventueel verknipte) eenheidsoppervlakten plus nog eens zestiende van deze eenheid. Het is zelfs zo dat 'het afpassen van de eenheid' al zo'n onbewust proces is geworden, dat we rustig durven te stellen: lengte, oppervlakte en inhoud zijn gewoon getallen.

Tot in de 17e eeuw na Chr. gaat men net als in de Griekse oudheid anders om met de begrippen lengte, oppervlakte en inhoud. Zo tracht men figuren - in het geval van oppervlakte - met behulp van meetkundige constructies te transformeren tot een vierkant. Met andere woorden: men probeert de figuren te "kwadreren".

Het taalgebruik is op dit punt in de loop van de geschiedenis opvallend veranderd. Bij gelijke oppervlakte van - bijvoorbeeld - een driehoek PQR en een vierkant ABCD zeggen wij nu: "de oppervlakte van driehoek PQR is gelijk aan de oppervlakte van vierkant ABCD" of "opp. PQR = opp. ABCD".

In de Griekse meetkunde werden deze driehoek en dit vierkant als meetkundig gelijke figuren beschouwd, dus: "PQR = ABCD".

Een eenvoudig voorbeeld is het construeren van de kwadratuur (het "vierkant maken") van een willekeurige vijfhoek:



 

 

 

 

Gegeven: vijfhoek ABCDE.

Gevraagd: construeer een vierkant met dezelfde oppervlakte als de vijfhoek.


Stap 1: 
Transformeer de vijfhoek in een gelijke vierhoek.

 

 

Stap 2: 
Transformeer vierhoek ABFE in een gelijke driehoek.
Dit levert driehoek AEG.

 

 

Stap 3: Transformeer driehoek AEG in een gelijke rechthoek. Dit levert rechthoek HIJE.

Het laatste probleem is dus het kwadreren van de rechthoek. Euclides beschrijft in De Elementen twee manieren om dit aan te pakken. In een hiervan wordt gebruik gemaakt van de zogenaamde middenproportionaal: gegeven twee lijnstukken met lengte a en b; bepaal een lijnstuk met lengte x zodat a : x = x : b.

Als de zijden van onze rechthoek de lengte a en b hebben, dan heeft het gevraagde vierkant een zijde met lengte x.

In nevenstaande rechthoekige driehoek geldt als gevolg van de gelijkvormigheid van beide deeldriehoekjes:  

Met andere woorden, een rechthoek met zijden a en b is gelijk aan vierkant met zijden x.

 

In ons geval zijn de lengtes a en b gegeven (resp. EJ en EH) en we zullen dus de middenproportionaal x moeten vinden met behulp van een rechthoekige driehoek, zoals hiervoor.

We zullen ook de hulp van een cirkel moeten inroepen. We maken daarbij gebruik van een eigenschap van een rechthoekige driehoek ABC met hypotenusa BC: het hoekpunt A ligt op de cirkel met middellijn BC.

Stap 4: transformeer de rechthoek in een gelijke vierkant:

 

1. cirkel J om J'

2. M is het midden van HJ'

3. trek halve cirkel (M,MH)

4. verleng JI tot K op cirkel

5. het vierkant met zijde IK is nu gelijk aan rechthoek HIJE.

 

We moeten wel bedenken dat het in de klassieke oudheid absoluut ongebruikelijk is om lijnstukken te benoemen met a, b of x en hier dan mee te gaan rekenen.

 

Het moge duidelijk zijn dat er in het voorgaande voorbeeld geheel niet met getallen gewerkt is. Er zijn geen oppervlakte-eenheden geteld of afgemeten. De kwadratuur bepalen is geen kwestie van berekening maar van constructie. Daar waar in de Griekse meetkunde getallen gebruikt worden, gaat het vooral om een maat voor de onderlinge verhouding van twee grootheden, bijvoorbeeld de verhouding van twee gegeven lengten.

Om onderscheid te maken met onze huidige kwantitatieve benadering spreken we in dit geval van de kwadratuur van een vijfhoek, in plaats van de oppervlakte van een vijfhoek.

De wiskunde uit de tijd van Euclides en Archimedes is sterk meetkundig van karakter en kenmerkt zich door een strenge bewijsvoering. Men vermijdt angstvallig het rekenen met oneindig kleine of grote hoeveelheden. Met name de filosoof Zeno had de Grieken duidelijk gemaakt dat het hanteren van infinitesimalen (oneindige kleine grootheden) tot onoplosbare paradoxen zou leiden.

De infinitesimaalrekening zoals wij die tegenwoordig kennen, de differentiaal- en integraalrekening, doen pas tegen het eind van de 17e eeuw zijn intrede.

Een methode, om kwadraturen van kromlijnige figuren te bepalen is de zgn. exhaustie-methode. De methode is vermoedelijk door de eerder genoemde Eudoxos van Cnidos ontwikkeld en veelvuldig door de grote Archimedes toegepast. De methode bevat een drietal ingrediënten. 


I. Als je van een grootheid meer dan de helft afneemt, en van de rest weer meer dan de helft, enzovoorts, dan blijft er tenslotte een grootheid over, die kleiner is dan een willekeurige voorgeschreven grootheid.

Voordat we de twee overige ingrediënten bekijken, volgt eerst een voorbeeld.

Onder een paraboolsegment verstaan we het vlak dat ingesloten wordt door een parabool en een lijn, die de parabool snijdt. 

Aan Archimedes (3e eeuw v Chr) is een werk toeschreven over de kwadratuur van het paraboolsegment. Hierin blijkt hij in staat het kromme vlakdeel te kwadreren.

Bekijk het segment tussen de parabool p en de lijn l. De raaklijn m aan de parabool, die evenwijdig aan l loopt, raakt de parabool in T. We noemen T de top van dit segment.

 

Archimedes heeft de kwadratuur van dit segment benaderd met behulp van ingeschreven driehoeken, te beginnen met driehoek ABT. Er blijven dan twee kleinere segmenten over, één met top P en één met top Q. Modern zouden we zeggen:

Vervolgens kunnen de segmenten ATQ en TBD 'opgevuld' worden met de driehoeken ATQ en TBD. Dit proces kan nu eindeloos herhaald worden, zodat het oorspronkelijke segment ABT 'uitputtend' gevuld wordt met ingeschreven driehoeken. Ga na dat deze werkwijze een correct voorbeeld is van ingrediënt I.

De kwadratuur van het paraboolsegment is zodoende te benaderen met de kwadratuur van de ingeschreven driehoeken.

Op grond van de eigenschappen van een parabool geldt:


Dit betekent dat iedere 'exhaustie-stap' een dubbel aantal ingeschreven driehoeken oplevert die tezamen aan oppervlakte een kwart van de vorige stap toevoegen. Archimedes heeft dit in zijn werk bewezen en toegepast.



II. Als er een verschil tussen twee grootheden A en B bestaat (A<B) dan is er altijd een derde grootheid C te vinden die er tussen past: A<C<B.

Met andere woorden, wanneer je volgens bovengeschetste werkwijze de oppervlakte B van het paraboolsegment hebt benaderd met een ingeschreven oppervlakte A, is er altijd een nauwkeuriger benadering C te verkrijgen. Gewoon door nog meer stappen in het exhaustie-proces te nemen.

Het derde ingrediënt is het lastigste. Archimedes en zijn tijdgenoten hadden dit nodig om het proces van exhaustie niet tot in het oneindige door te hoeven zetten, zoals hier met oneindig kleine ingeschreven driehoekjes. Zoals gezegd is het begrip 'oneindig' taboe in de klassieke Griekse wiskunde.

 


III. Om te bewijzen dat een grootheid A de grootte B heeft, wordt gebruik gemaakt van een bewijs uit het ongerijmde. Men toont aan dat zowel A < B als A > B tot een ongerijmdheid voert. Als zowel A < B als A > B niet klopt, is er maar één conclusie: A = B.

Archimedes gebruikt deze twee ingrediënten als volgt.

Blijkbaar weet hij dat

Hoe hij hier aan gekomen is, laat ik even in het midden (17).

Stel nu, zo lijkt Archimedes te redeneren, dat de kwadratuur van het paraboolsegment kleiner dan B is, bijvoorbeeld A. Dan laat hij zien dat je net zo lang door kunt gaan met driehoekjes opvullen tot de totale kwadratuur van de ingeschreven driehoekjes groter dan A is (ingrediënt II). Dus de kwadratuur van het segment kan niet kleiner dan B zijn. Archimedes laat vervolgens zien dat het ook niet groter dan B kan zijn. Conclusie bovenstaande uitdrukking (1) is correct. En dit is dan ingrediënt III uit de exhaustie-methode.

 

Een ander voorbeeld komt uit een overgeleverde Griekse tekst genaamd De Cirkelmeting uit de vijfde eeuw na Chr. Het is vermoedelijk een bewerking van een geschrift van - alweer - Archimedes.

In de Griekse tekst staan een drietal stellingen met bewijs. Een ervan luidt

De oppervlakte van een willekeurige cirkel is gelijk aan die van een rechthoekige driehoek waarvan één van de rechthoekszijden gelijk is aan de straal, en de ander gelijk aan de omtrek van de cirkel.

Modern:

Voor het bewijs hiervan gebruikt hij een variant op ingrediënt I van de exhaustie-methode. Nu gaat hij niet uit van een zich telkens uitbreidend ingeschreven figuur, maar van een zich voortdurend verfijnende ingeschreven veelhoek. Zijn benadering begint met een ingeschreven zeshoek, vervolgens een twaalfhoek, enzovoorts, tot een 96-hoek. Het is duidelijk dat de kwadratuur van de cirkel hiermee steeds nauwkeuriger benaderd wordt.


In het geval van de afgebeelde twaalfhoek wordt - modern gesproken - de oppervlakte van de cirkel benaderd door 12 keer de oppervlakte van driehoek ABM. De hoogte ML van deze driehoek benadert de straal van de cirkel. En 12 keer de lengte van de basis AB komt in de buurt van de omtrek van de cirkel.
De kwadratuur van de cirkel wordt vervolgens ook van de andere kant benaderd. Met een omgeschreven veelhoek. Met eerder genoemde ingrediënten II en II weet Archimedes bovenstaande stelling te bewijzen. Overigens is met zijn stelling de cirkel nog geenszins gekwadreerd. Archimedes heeft zich dit ongetwijfeld gerealiseerd. In de Cirkelmeting blijkt dat hij de lengte van de cirkelomtrek niet nauwkeurig kan bepalen. Anders gezegd, hij vindt geen rationale verhouding tussen omtrek en straal.


Aan het einde van de middeleeuwen zorgen vertalingen in het Latijn ervoor dat de klassieke Griekse wiskunde bekend wordt in geheel West-Europa. De kwadratuurbepaling gaat hier een voornaam onderdeel vormen van de 'hogere' wiskunde. Op den duur neemt de horror infiniti, de angst voor infinitesimalen, af. Men gaat over tot minder strenge bewijzen. Een bekend voorbeeld is Kepler's bewijs van Archimedes' stelling over de kwadratuur van de cirkel (zie opgave 10.c). Johannes Kepler (1571-1630) is niet alleen een beroemd astronoom. In zijn tijd is hij ook een groot wiskundige. Samen met een aantal tijdgenoten, zoals Simon Stevin en Bonaventura Cavalieri, kan hij gezien worden als een 'overgangsfiguur'. Hun wiskundige methoden van oppervlakte- en inhoudsbepaling hebben de weg bereid voor de moderne integraalrekening van Newton en Leibniz.

De kwadratuur van de cirkel is door de eeuwen heen een 'hot item' in de wiskunde gebleven. Vele wiskundigen van naam hebben tevergeefs gepoogd de cirkel te kwadreren. In 1882 weet de Duitse wiskundige Ferdinand Lindemann te bewijzen dat de kwadratuur van de cirkel volgens de klassieke methode helemaal niet te bepalen is (18). Gesteld dat je een vierkant met zijde a kunt vinden dat dezelfde oppervlakte heeft als een cirkel met straal r, dan is de onderlinge verhouding tussen a en r niet exact te bepalen.

Met de komst van de infinitesimaalrekening en de aanvaarding van irrationale getallen blijkt de oppervlakteberekening van figuren zoals de cirkel een fluitje van een cent en raakt het begrip kwadratuur in onbruik.

 


17 Dit is tevens een van de beperkingen van de exhaustie-methode. Je moet van tevoren weten of kunnen inschatten wat de uitkomst is. Een ander nadeel is het feit dat iedere oppervlaktebepaling op zijn eigen specifieke manier worden aangepakt. Per geval moet je uitzoeken welke in- of omgeschreven figuren het handigst zijn. De methode van exhaustie is daarom geen universele methode zoals de moderne integraalrekening. (terug)

18 Het blijkt dat het irrationale getal geen oplossing van een gehele rationale vergelijking is (zoals 3x4 - 5x3 + 2x - 6 = 0 of y2 = 8). Een en ander heeft tot gevolg dat er geen zijde x van een vierkant te construeren is (met klassieke middelen), zodat de oppervlakte x2 gelijk is aan de oppervlakte van een cirkel. We noemen een transcendent getal. (terug)