Uitwerking vragen en opdrachten
Les 5
vragen 38:
1. Descartes wil graag verder gaan en in deze klasse van grafische problemen nog weer verschillende soorten onderscheiden.
2. De grafische krommen werden in de Oudheid omschreven als mechanisch, omdat ze alleen met een instrument getekend kunnen worden. Descartes vindt dit merkwaardig aangezien een rechte lijn en een cirkel in feite ook slechts met een instrument (resp. liniaal en passer) getekend kunnen worden. Ook het feit dat de instrumenten gecompliceerder en dus onnauwkeuriger zouden zijn, is volgens Descartes geen reden om de kromme mechanisch te noemen. In de mechanica is de nauwkeurigheid van de constructie nog belangrijker dan in de meetkunde.
3. a.
(1) Het is altijd mogelijk om tussen elk tweetal punten een rechte lijn te trekken.
(2) Om een gegeven middelpunt kan altijd een cirkel getekend worden, die door een ander gegeven punt gaat.
b. Descartes zegt dat de wiskundigen in de Oudheid zich niet beperkten tot deze twee postulaten, maar bijvoorbeeld ook veronderstelden dat een willekeurige gegeven kegel gesneden kan worden door ieder gegeven vlak. Hij wil hiermee reeds voeding geven aan zijn voorstel om het aantal aanvaardbare constructiekrommen niet meer te beperken tot lijn en cirkel.
4. ... pourvu qu'on les puisse imaginer être décrites par un mouvement continu, où par plusieurs qui s'entresuivent & dont les derniers soient entièrement réglés par ceux qui les précèdent.
Ofwel, de kromme moet beschreven kunnen worden door middel van een continue beweging of door een opeenvolging van verscheidene continue bewegingen, waarbij iedere beweging volledig bepaald wordt door zijn voorganger.
opdracht 39:
a. P en Q zijn de loodrechte projecties van F op de X- en de Y-as.
b. Er geldt: HN2+NI2 =
HI2 ofwel 
Met wat is a. gevonden is volgt nu: 
De coördinaten (x,y) van punt F voldoen dus aan de vergelijking
en dit is de vergelijking van een ellips.
Vraag 39:
Ja. Als je bijvoorbeeld het palletje H rechtlijnig langs liniaal KL beweegt, dan is daar direct aan gekoppeld de rechtlijnige beweging van palletje I. De kromlijnige beweging van F is direct aan deze twee voorgaande bewegingen gekoppeld.
opdracht 40:
Neem bijvoorbeeld EG als positieve x-as en EC als positieve y-as. FD snijdt BG in R (zie figuur). Stel EG=x, EC=y en EB=p. Nu geldt:
|
 |
3. Uit deze gelijkvormigheid is nu
een verband tussen x en y af te leiden: 
4. Verifieer dat dit de vergelijking van een parabool is!
Het alternatief is veel eenvoudiger aan te tonen. Immers FK is de middelloodlijn van BG (waarom?), dus BD=GD.
Vraag 40:
Ja. De beweging van lat FK is direkt gekoppeld aan de rechtlijnige beweging van G en de beweging van D is op zijn beurt direct gekoppeld aan de beweging van lat FK (en van GP).
opdracht 41:
Er geldt: YD:YC = YC:YB, ofwel YD:x = x:a
Hieruit volgt 
Ook: 
(1) en (2) leveren de gevraagde vergelijking.
vraag 42:
De rechte lijn.
opdracht 43:
1. 
