Twee meetkundige constructieproblemen

 


1.     Een eenvoudig probleem.

Gegeven zijn twee punten A en B (zie figuur hiernaast).

 


Opdracht 2:

Construeer de verzameling punten, die gelijke afstand tot A en B hebben.

Als je de oplossing gevonden hebt beschouw dan de volgende vragen:

Vragen 2:

  1. Kun je bewijzen dat jouw oplossing correct is? Zo ja, geef dan het bewijs.
     
  2. Bewijzen dat je oplossing correct is, is alleen mogelijk als je de verzameling punten daadwerkelijk getekend hebt. Vraag is echter: hoe kwam je op het idee dat uitgerekend deze verzameling punten de oplossing van het constructieprobleem is? Met andere woorden: beschrijf in het kort je analyse (Heb je bijvoorbeeld gebruik gemaakt van algebra in je analyse?).
     
  3. Is het mogelijk om jouw oplossing te construeren in overeenstemming met de regels die Euclides daarvoor heeft gegeven, namelijk:

Zo nee, welke hulpmiddelen heb je nog meer nodig?


Mocht je niet alle vragen hebben kunnen beantwoorden, dan is dat voorlopig geen probleem. In een later stadium zullen we nog nader op dit soort aspecten ingaan. Laten we eerst het volgende - lastiger - constructieprobleem beschouwen.

 

2.     Gegeven zijn weer dezelfde punten A en B.

 


Opdracht 3:

Construeer de verzameling punten, waarvoor geldt dat de afstand tot A twee keer zo groot is als de afstand tot B.

Aanwijzing: Als je niet meteen alle punten kunt vinden, die voldoen, dan kun je beginnen met één punt of een paar punten.

Beantwoord, in het geval dat je een oplossing gevonden hebt, dezelfde vragen als bij het eerste probleem.


De twee zojuist beschouwde constructieproblemen verschillen in hun formulering slechts in één enkel woord. Vreemd toch, want het zal je vast zijn opgevallen dat het oplossen van het eerste probleem niet bijster veel houvast heeft geboden voor het oplossen van het tweede. Tenzij .... je gebruik gemaakt hebt van een coördinatenstelsel en enig algebra. Zonder dat is er geen eenduidige oplossingsstrategie voorhanden voor deze twee schijnbaar identieke problemen. Deze constatering is van belang voor het begrip van Descartes' werk.

Meetkundige constructieproblemen, zoals hierboven, vormen goeddeels de aanleiding voor de wiskundige verkenning, die René Descartes in zijn werk "La Géométrie" uitvoert.

Waarom spelen ze zo'n belangrijke rol in zijn werk en in de wiskunde van die tijd? Wat is de oorsprong ervan? Laten we ons richten op een korte (historische) karakterisering van de pre-Cartesiaanse wiskunde.