Instrumenten voor de constructie van krommen

 

Onder andere in het werk Wisconstighe Ghedachtnissen (Leiden, 1605) van de Nederlander Simon Stevin komt de volgende afbeelding van een instrument om een ellips te tekenen.

Het palletje I kan 'vertikaal' op en neer schuiven in gleuf MN en palletje H kan 'horizontaal' langs liniaal KL schuiven. Beide palletjes zijn willekeurig in de gleuf van 'wijzer' GF vastgezet.

Opdracht 39:

Beschouw het figuur alsof het in een rechthoekig XY-assenstelsel geplaatst is met punt N in de oorsprong en de x-as langs liniaal KL. Noem FH=a, FI=b en HI=c.

  1. Toon aan:.

  2. Toon aan dat punt F een deel van een ellips beschrijft.


Vraag 39:

Descartes accepteert een kromme onder voorwaarde dat hij ontstaan is uit een beweging, die op een directe en duidelijke manier gekoppeld is aan een rechtlijnige- of cirkelbeweging. Voldoet de constructie met dit instrument aan deze eis?

Uit het werk De Organica Conicarum Sectionum In Plano Descriptione Tractatus (Leiden, 1646) van de eerder genoemde Frans van Schooten komt het volgende plaatje van een meetkundig instrument. Tevens is het titelblad van het werk afgebeeld.

Liniaal E wordt vast op het papier gedrukt. Bij G bevindt zich op het 'scharnierpunt' van de latten FG, GH en GP een palletje dat langs de liniaal E geschoven wordt. Bij deze beweging blijft lat GD loodrecht op liniaal E.

In het 'scharnierpunt' B van de latten FB en BH bevindt zich een passerpunt, welke in het papier gedrukt wordt. Punt H kan vrij langs lat FK bewegen (d.m.v. een palletje in een gleuf).

En nu komt het: Bij het 'snijpunt' D van de latten GP en FK kan een stift in de gleuven gedaan worden. Bij de beweging van G beschrijft deze stift een kromme.

Opdracht 40:

Bewijs m.b.v. analytische meetkunde dat de kromme een deel van een parabool is. Breng hiertoe een gunstig gekozen XY-assenstelsel aan in de figuur.

» alternatief: Ieder punt van een parabool heeft gelijke afstand tot een gegeven punt (het brandpunt) en een gegeven lijn (de richtlijn).

Bewijs dat deze eigenschap voor punt D geldt. Bewijs met behulp van congruente driehoeken dat BD=GD.

Vraag 40:

Voldoet dit instrument aan de eisen, welke Descartes aan de beweging(en) stelt?


 

Christiaan Huygens (1629-1695), een leerling van Frans van Schooten, en dus indirect ook van Descartes heeft in 1650 een schets gemaakt van een apparaat waarmee een spiraal geconstrueerd kan worden (11).

Een liniaal AB is draaibaar om punt B. De cirkelvormige schijf EH is vastgehecht op het vlak van tekening. Een koord is in E aan de schijf vastgemaakt en loopt via een katrolletje bij A naar een schrijfstift D. Als de liniaal tegen de klok in om punt B gedraaid wordt schuift de stift D langs de liniaal en tekent zo een spiraal op het vlak van tekening.


Hoewel de draaibeweging van de liniaal en de beweging van de stift direct aan elkaar gekoppeld zijn, is er hier volgens Descartes geen sprake van een aanvaardbare combinatie van bewegingen. De relatie tussen beide bewegingen heeft te maken met de verhouding van de omtrek en de diameter van een cirkel. En Descartes vindt dat hij deze verhouding niet nauwkeurig genoeg kent.

Descartes komt in boek II van zijn "Géométrie" zelf met een voorbeeld van een instrument om zijn argumenten vóór uitbreiding van het aantal 'constructie-krommen' kracht bij te zetten (blz. 317, 318 en 319).


 

Vertaling:

24. Bekijk de lijnen AB, AD, AF enzovoort, waarvan we veronderstellen dat ze beschreven kunnen worden door middel van het instrument YZ. Dit instrument bestaat uit meerdere linialen die op zo’n manier met elkaar verbonden zijn met YZ geplaatst langs lijn AN dat hoek XYZ kan worden vergroot en verkleind, en wanneer de benen gesloten zijn, vallen punten B, C, D, E, F, G, H allemaal samen met A; maar wanneer de hoek wordt vergroot, drukt de liniaal BC, loodrecht bevestigd op YZ in punt B, de liniaal CD die langs YX schuift naar Z. Op soortgelijke wijze duwt liniaal CD liniaal DE weg die loodrecht langs YZ en evenwijdig aan BC schuift; DE duwt EF voort; EF duwt FG voort; FG duwt GH verder, enzovoort. We kunnen ons dus een veelheid van linialen voorstellen, die elkaar voortduwen, de helft van hun maakt dezelfde gelijke hoeken met YX en de rest met YZ.

25. Terwijl de hoek XYZ groter wordt, beschrijft het punt B de kromme AB, in dit geval een cirkel; terwijl de snijpunten van de andere linialen, te weten de punten D, F, H andere krommen beschrijven - AD, AF, AH - van wie de laatste complexer is dan de eerste, die op zijn beurt complexer is dan de cirkel.

26. Desalniettemin zie ik geen reden waarom de beschrijving van de eerste kromme niet net zo duidelijk en ondubbelzinnig kan zijn als die van een cirkel, of op z’n minst als die van de kegelsneden; of waarom de beschrijving van de tweede, derde, of iedere volgende die zodanig kan worden beschreven, kan niet net zo helder opgevat kan worden als zoals de eerste; en daarom zie ik geen reden waarom ze niet op dezelfde wijze gebruikt zouden kunnen worden bij de oplossing van meetkundige constructieproblemen.

Duidelijk is het in dit geval dat de punten B, D, F en H krommen beschrijven van verschillende complexiteit. Punt B beschrijft de cirkel, welke aanvaardbaar is als 'constructie-kromme'. De bewegingen van de punten D, F en H zijn echter op een directe en duidelijke manier gekoppeld aan die van B, en, zo betoogt Descartes, waarom zouden deze krommen dan niet aanvaardbaar zijn?


Opdracht 41:

Neem in de bovenstaande figuur: YA=a, YC=x en CD=y.

Toon aan dat de kromme AD beschreven kan worden door

 

 

11. afbeelding uit C. Huygens, Oeuvres Complètes (Den Haag 1888-1950), vol. 11, pag. 216 (terug)