Inleiding

Descartes heeft in zijn "Géométrie" enkele bakens, waarbinnen het wiskundige speelveld begrensd was, verzet. We hebben al gezien dat de invoering van de eenheid en - daar min of meer aan gekoppeld - het loslaten van de homogeniteits-eis een vruchtbare wisselwerking tussen meetkunde en algebra mogelijk heeft gemaakt. Hierdoor is de weg vrij voor een algemeen toepasbare analyse van meetkundige constructieproblemen.

Nu echter is een volgende stap nodig. Want wat helpt ons een analyse als we de oplossing niet kunnen construeren? Hoe zit het bijvoorbeeld met derde- en hogeregraads vergelijkingen? De oplossingen hiervan zijn over het algemeen niet met passer en liniaal te construeren. Hoe moeten we deze dan wel construeren? Mogen we andere krommen dan lijnen en cirkels gebruiken?

Ook op dit gebied gaat Descartes de bakens verzetten. En alvorens hij een lans breekt voor constructies m.b.v. andere krommen gaat hij in boek II de aard van meetkundige krommen bespreken.

Boek II begint als volgt (blz. 315 en 316):

Vertaling:

Géométrie

Boek 2

Over de aard van krommen

21. De wiskundigen uit de Oudheid waren bekend met het feit dat gewone meetkundige problemen kunnen worden verdeeld in drie klassen, namelijk vlakke, ruimtelijke en grafische problemen. Hiermee zeggen we feitelijk dat de oplossingsconstructie van sommige problemen alleen cirkels en rechte lijnen vereist, terwijl andere een kegelsnede nodig hebben en weer andere meer complexe krommen.

Ik ben echter verbaasd dat ze niet verder gingen, en geen onderscheid maakten tussen de verschillende graden van deze meer complexe krommen, noch zie ik waarom ze de laatste bij voorkeur mechanisch noemden in plaats van meetkundig.

22. Als we beweren dat ze mechanisch worden genoemd omdat er een soort instrument moet worden gebruikt om ze te beschrijven, dan moeten we als we consequent zijn, ook cirkels en rechte lijnen afwijzen, aangezien deze niet op papier kunnen worden beschreven zonder het gebruik van passer en een liniaal, die we gerust ook als instrumenten kunnen opvatten. De reden is niet dat andere instrumenten gecompliceerder zijn dan de liniaal en de passer, en daarom minder nauwkeurig zijn, want als dit zo zou zijn dan zouden ze moeten worden uitgesloten van de mechanica, waarin de precisie van constructie nog belangrijker is dan in de meetkunde. In de laatste wordt eigenlijk alleen nauwkeurigheid van bewijsvoering  nagestreefd, en dit kan zeker net zo grondig geschieden met betrekking tot zulke kromme als meer eenvoudige. Ik kan ook niet geloven dat het was omdat ze niet meer dan twee stellingen wilden poneren, namelijk (1) slechts één rechte lijn kan worden getrokken tussen twee willekeurig punten, en (2) door een gegeven middelpunt kan slechts één cirkel worden getrokken door een gegeven punt.

In hun behandeling van de kegelsneden aarzelden ze niet om te suggereren dat elke gegeven kegel doorsneden kan worden door een vlak. Welnu, er is slechts één veronderstelling nodig om alle krommen te behandelen die ik hier graag wil introduceren, namelijk dat twee of meer lijnen ten opzichte van elkaar verschoven kunnen worden, waarbij andere krommen gedetermineerd worden door hun onderlinge snijpunten. Dit lijkt me toch zeker niet ingewikkelder.

23. Nu is het natuurlijk wel zo dat de kegelsneden nooit probleemloos geaccepteerd zijn in de klassieke wiskunde en ik wil ook zeker geen verandering aanbrengen in begrippen die door het gebruik zijn ontstaan; toch lijkt het me duidelijk dat, wanneer we zoals gebruikelijk veronderstellen dat meetkunde nauwkeurig en exact is en mechanica niet, en wanneer we de meetkunde beschouwen als de wetenschap die algemene kennis verschaft van de maat van alle lichamen, we niet het recht hebben om meer complexe krommen eerder uit te sluiten dan meer eenvoudige, vooropgesteld dat ze opgevat kunnen worden als het resultaat van een continue beweging of van meerdere opeenvolgende bewegingen, waarbij iedere beweging geheel bepaald wordt door de voorgaande bewegingen; want op deze wijze is de exacte waarde van iedere maat te verkrijgen.

Descartes begint met het noemen van de drie soorten meetkundige constructieproblemen: vlak, ruimtelijk en grafisch. De benamingen vlak, ruimtelijk en grafisch hebben betrekking op de krommen, die voor het construeren van de oplossing nodig zijn. Deze driedeling stamt uit de Oudheid (het komt voor het eerst voor in het werk van Pappus) en behoeft enige toelichting.

• In les 4 zijn een aantal constructies uitgevoerd met als 'krommen' lijnen en cirkels. Deze krommen hebben in de Oudheid hun oorsprong gevonden in het platte vlak, en worden daarom vlakke krommen genoemd. En zo heten de meetkundige constructieproblemen die er mee opgelost kunnen worden vlakke problemen.
  
• Een aparte groep krommen werd in de Oudheid gevormd door de kegelsneden: de ellips, de parabool en de hyperbool. Deze vonden hun oorsprong als 'snij-kromme' van een kegel en een vlak. Met name in het beroemde werk "Conica" van de Griekse wiskundige Apollonius van Perga (262 - 190 v. Chr) is een uitvoerige theorie hierover beschreven. Opvallend daarbij is dat nagenoeg alle eigenschappen van deze krommen, zoals wij ze momenteel uit de analytische meetkunde kennen, ook al in de theorie van Apollonius naar voren kwamen. 
  Aangezien deze kegelsneden afkomstig waren van een ruimtelijk figuur (de kegel), werden ze ruimtelijke krommen genoemd. In de Griekse Oudheid werden constructies met deze krommen welliswaar beschreven, maar men bleef zoeken naar mogelijke vervangende vlakke constructies, omdat deze de voorkeur genoten. Pas in de negentiende eeuw werd het duidelijk dat een aantal constructieproblemen slechts met ruimtelijke krommen op te lossen waren en niet met vlakke krommen (zie ook blz. 38 van les 4 over de trisectie van de hoek).
  
• Tenslotte zijn er nog een aantal 'ingewikkelder' krommen, die destijds duidelijk minder ingeburgerd waren, zoals de spiraal, de kwadratrix, de cissoïde en de conchoïde. De oorsprong hiervan blijkt duidelijk anders en complexer te zijn dan die van de kegelsneden. 
  Ook met deze krommen werd een enkele maal een constructie uitgevoerd, meer als curiositeit dan als aanvaardbare meetkundige constructie. Zo kon bijvoorbeeld het probleem van de verdubbeling van de kubus opgelost worden met behulp van de cissoïde (Diocles ca. 180 .v Chr.). 
  Genoemde krommen werden in de Oudheid omschreven als grafische krommen.

Vragen 38: zie tekst alinea 21-23

1. Descartes heeft bezwaar tegen de indeling van meetkundige problemen in drie klassen, zoals de wiskundigen in de Oudheid deden (alinea 21). Wat vindt hij bijvoorbeeld van de derde klasse, de grafische problemen?
    
2. Waarop berust het onderscheid (uit de Oudheid) tussen 'meetkundige krommen' en 'mechanische krommen"? Wat vindt Descartes hiervan?
    
3. a. Descartes noemt twee postulaten uit "de Elementen" van Euclides. Welke?
   b. Waarom komen deze twee postulaten juist hier ter sprake?
   
4. Descartes stelt: als de liniaal en de passer aanvaardbare 'instrumenten' zijn voor het construeren van krommen dan zouden andere instrumenten dat ook kunnen zijn.
   Waaraan moeten de bewegingen van deze instrumenten dan volgens Descartes voldoen (alinea 23)?