Geen eindig aantal oplossingen, maar een kromme als oplossing

Descartes heeft reeds duidelijk aangegeven dat voor een constructieprobleem een eindig aantal ⁽¹⁰⁾ oplossingen bestaat. als er in de algebraïsche formulering van het probleem evenveel vergelijkingen als variabelen zijn. In een voorgaand fragment (Géométrie blz. 301) heeft hij al even het probleem aangesneden, dat ontstaat als er meer variabelen dan vergelijkingen zijn. 

Opdracht 35:

Lees nogmaals alinea 8 (zie hier)

Vraag 35:

Wat moet je volgens Descartes doen als er meer variabelen dan vergelijkingen zijn?

Vertaling:

20. Welnu, aangezien er altijd een oneindig aantal van verschillende punten is die aan deze voorwaarden voldoen, is het ook nodig om de kromme te ontdekken die al deze punten bevat en ook te tekenen.

In het begin van les 1 zijn we dit bijvoorbeeld tegengekomen in het probleem met de twee gegeven punten A en B. Gevraagd de verzameling {X| d(X,A)=2.d(X,B)}.

Opdracht 36:

1. Toon aan: AX = 2BX levert de algebraïsche vergelijking:
   
   
    
2. Dat deze vergelijking als oplossingsverzameling een kromme heeft (in dit geval een cirkel), was ons reeds duidelijk. Leid uit de vergelijking het middelpunt en de straal af.

De variabele lijnstukken x en y staan in het zojuist bekeken voorbeeld loodrecht op elkaar. Je zou kunnen vermoeden dat er bij deze typische Cartesische oplossingsmethode gebruik gemaakt wordt van een loodrecht Cartesisch x,y-assensstelsel. Descartes heeft echter niet bewust gebruik gemaakt van loodrechte assenstelsels. Een assenstelsel is bij hem meer een afgeleide vorm van de benen van een hoek, zoals deze gebruikt wordt bij meetkundige constructies. Een scheef assenstelsel dus, waarin de 'negatieve assen' niet voorkomen.

Tenslotte nog iets over het reeds genoemde probleem van Pappus. Zeer vaag geformuleerd ziet het er zo uit:

"Bij drie of meer gegeven willekeurige lijnen dient een punt P gevonden te worden, zodat de afstanden van P tot die lijnen aan een zekere relatie voldoen."

Het probleem is vrij complex. We zullen ons hier beperken tot een sterk vereenvoudigd voorbeeld.

Gegeven zijn twee evenwijdige lijnen l en m met onderlinge afstand a. Een derde lijn n snijdt l en m loodrecht. Gevraagd is nu het punt P te vinden, zodat: "het kwadraat van de afstand van P tot l gelijk is aan het product van de afstand van P tot m en de afstand van P tot n". Dus gevraagd is: de verzameling {P| PA2=PB.PC}.

Opdracht 37:

1. Benoem de onbekenden en stel een algebraïsche vergelijking op.
    
2. Onderzoek met je grafische rekenmachine de aard van de (oplossings-)kromme, die bij deze vergelijking hoort.

10. Een aantal, ongelijk aan nul. (terug)