Descartes' 'frustratie'


Ten overvloede nog een tweetal lastiger constructie problemen met passer en liniaal. Mocht je zo langzamerhand enigszins gefrustreerd raken door al deze constructieproblemen, dan begin je wellicht iets van 'het ongenoegen' van Descartes te begrijpen.
 
1. Gegeven is lijn m met daarop de punten A, B, C en D.

opdracht 17:

Construeer de rechthoekige driehoek met schuine zijde AD waarvan de rechthoekszijden zich verhouden als AB:BC.

 

2. "Van Schooten's probleem"


Zoals eerder vermeld heeft de Leidse wiskundige Frans van Schooten (1615-1660) de Géométrie vertaald in het Latijn. Tevens voegde hij verhelderend commentaar toe en illustratieve voorbeelden. Dit is van grote invloed geweest op het verbreiden van Descartes' inzichten onder de wiskundigen van die tijd. In de tweede sterk uitgebreide editie van zijn hand (1659/1651) treffen we het volgende probleem aan (Géométrie 1659, p. 149):

Vertaling:

"Commentaar op boek I.

Eerste probleem

Gegeven de rechte lijn AB, ergens verdeeld in C, zodanig te verlengen tot D, opdat de rechthoek op AD, welke (de zijde) DB omvat, gelijk wordt aan het vierkant (met zijde) CD."

Verder begint de oplossing met:

"Beschouw de zaak alsof het reeds gedaan is, dat wil zeggen plaats (in de figuur) rechthoek ADEF, en tevens vierkant CDGH die verondersteld wordt hieraan gelijk te zijn. Vervolgens, daar het mogelijk is alle meetkundige vraagstukken zodanig te vereenvoudigen dat alleen één enkele lengte of rechte uit alle rechten gezocht dient te worden, en iedereen ziet in dat slechts lijnstuk BD geconstrueerd dient te worden en dat het de enige moeilijkheid is haar te vinden."

Opdracht 18:

Construeer op het verlengde van AB het bewuste punt D.

aanwijzing:

Maak hierbij gebruik van algebra. Besteed niet overmatig veel tijd aan dit probleem. We komen er in de volgende lessen op terug.

 

Vragen 18:

  1. Als je bij de twee voorgaande problemen gebruik gemaakt hebt van algebraïsche vergelijkingen, voldoen je uitdrukkingen dan aan de homogeniteits-eis?
     
  2. Is er bij jouw oplossingen van de meetkundige constructieproblemen, die je in les 1 en 2 gemaakt hebt, sprake van een duidelijke strategie? Of vergde ieder probleem zijn eigen aanpak?


Tot in de tijd van Descartes staan meetkundige constructieproblemen sterk in de belangstelling van de wiskundigen. Opvallend daarbij is - zoals je zelf wellicht gemerkt hebt - dat verschillende problemen verschillende aanpakken vergen.

Zeker als je geen gebruik van algebra kan maken, is er nauwelijks een algemeen toepasbare analyse mogelijk. En mocht je het probleem toch algebraïsch kunnen analyseren, dan doet zich een tweede probleem voor: hoe kun je deze algebraïsche analyse terug vertalen in een meetkundige constructie? Met name voor lastiger problemen is dit onmogelijk zonder de homogeniteits-eis geweld aan te doen. In die tijd ondenkbaar dus.

En tenslotte, wat moet je doe als blijkt dat constructies niet meer met passer en liniaal uit te voeren zijn (7)?

Dit alles - deze 'frustratie' - lijkt voldoende aanleiding voor Descartes' wiskundige verhandeling La Géométrie.

 

 

7. De wiskundigen in de Griekse oudheid hadden al ondervonden dat ze een aantal meetkundige problemen niet met passer en liniaal konden uitvoeren. De drie bekendste van die problemen zijn: 
- een hoek in drie gelijke hoeken verdelen (de zgn. trisectie van de hoek), 
- de constructie van twee middenproportionalen (in les 1 blz 12 is de constructie van één middenproportionaal aan bod gekomen), en 
- de kwadratuur van de cirkel. (terug)