De homogeniteits-eis

Gegeven is een kubus. De lengte van de ribbe is a. We beschouwen drie grootheden van deze kubus: L: de lengte van alle ribben tezamen, O: de oppervlakte van de kubus, I: de inhoud van de kubus.
Vragen 14: Voor welke waarde van a geldt: O=L   Voor welke a geldt: I=L   Voor welke a geldt: I+O+L=90 ? Bereken het antwoord in twee decimalen nauwkeurig. Maak hierbij gebruik van een grafische rekenmachine.

Een opgave als hierboven zou in de tijd van voor Descartes ondenkbaar zijn. Niet dat men geen derdegraads algebraïsche vergelijkingen kan oplossen. Dat kan men wel. En ook zonder moderne hulpmiddelen, zoals een grafische rekenmachine. Men is ook staat om het antwoord zo nodig op twee decimalen nauwkeurig te geven. Het is echter ondenkbaar dat men zoals in bovenstaande opgave lengten oppervlakten en inhouden met elkaar gaat vergelijken.

Nu eerst een stukje leeswerk, om te begrijpen waarom dit ondenkbaar was. Voor het goede begrip van het vernieuwende werk van Descartes is dit belangrijk.

De eerste les hebben we besloten met de constatering dat de meetkunde en de algebra tot aan Descartes een vrijwel gescheiden leven hebben geleden. De algebra richt zich bij de Grieken, en later ook bij de Arabieren ⁽²⁾, voornamelijk op de eigenschappen van getallen en vergelijkingen. Daar gaat in de zestiende eeuw verandering in komen.

Van grote invloed is het werk van de Franse wiskundige François Viète (1540-1603). Viète (Latijn: Vieta) was advocaat van beroep en als zodanig verbonden aan het hof van de koningen Hendrik III en Hendrik IV. Wiskunde bedreef hij voornamelijk in zijn vrije tijd. In zijn werk Isagoge ⁽³⁾ (1591) treffen we voor het eerst echt algebra aan in de vorm van het rekenen met letters als variabelen (magnitudes).

Belangrijk is de 'meetkundige eis', die Viète aan zijn variabelen stelt. We zouden deze eis ook wel een homogeniteits-eis kunnen noemen. Deze eis komt vrij geïnterpreteerd hierop neer dat lengten, oppervlakten en inhouden niet bij elkaar opgeteld mogen worden. Je mag alleen lengten bij lengten optellen, oppervlakten bij oppervlakten, enz. Kortom, je mag algebraïsch gezien alleen homogene variabelen bij elkaar optellen. En dit geldt uiteraard ook voor aftrekken. Voor vermenigvuldigen en delen geldt dit niet.

Neem de variabelen A en B, die ieder meetkundig gezien de lengte van een lijnstuk voorstellen. Nu heeft de algebraïsche uitdrukking A+B zijn meetkundige equivalent in het lijnstuk dat even lang is de twee afzonderlijke lijnstukken samen. En A.B is de rechthoek met genoemde lijnstukken als zijde.

A³ stelt een kubus voor. Maar A³+2B is een uitdrukking, die niet aan de homogeniteits-eis voldoet ⁽⁴⁾. Zie wat Viète hierover schrijft in het derde hoofdstuk ⁽⁵⁾:

De vertaling van het voorgaande fragment luidt:

Over de wet der homogenen & het vergelijken van grootheden in graden en soorten.

De eerste en algemene wet met betrekking tot vergelijkingen of verhoudingen, die, aangezien ze gebaseerd is op homogene zaken, de wet der homogenen wordt genoemd, is:
"Homogene zaken zijn alleen onderling te vergelijken".
Want je hebt geen idee hoe heterogene zaken zich tot elkaar verhouden, zoals Adrastus ⁽⁶⁾ zei.

Daarom:
Als een grootheid bij een grootheid wordt opgeteld, is het (resultaat) daarmee homogeen.
Als een grootheid van een grootheid afgetrokken wordt, is het (resultaat) daarmee homogeen.
Als een grootheid met een grootheid vermenigvuldigd wordt, is het (resultaat) heterogeen met deze en die.
Als een grootheid door een grootheid gedeeld wordt, is het (resultaat) daarmee heterogeen.
Omdat ze hier geen rekening mee hebben gehouden is dit een oorzaak geweest van de grote duisternis en blindheid van de oude analytici.

In het vijfde hoofdstuk van Viète's Isagoge staat te lezen:

Vraag 15:

Wat staat hier? Vraag eventueel een medestudent met kennis van Latijn om een vertaling.

In de Latijnse bewerking van van Schooten komen we een aantal theorema's tegen, zoals deze op blz. 17:

Vraag 16:

Wat wordt hier uitgelegd?

Het werk van Viète betekent een grote stap voorwaarts, zowel voor de meetkunde als voor de algebra. Beide worden met elkaar in verband gebracht. De algebra krijgt een klassiek meetkundig fundament. En voor het eerst is de wiskundige in staat om een meetkundig probleem een algebraïsche formulering te geven, door gebruik te maken van letters.

Wat echter meteen duidelijk zal zijn, is dat de algebra door genoemde homogeniteits-eis een strak meetkundig keurslijf krijgt. Hierdoor hebben uitdrukkingen als geen meetkundige betekenis.

De doorbraak, die de Géométrie van Descartes voor de wiskunde betekent, speelt zich goeddeels op dit terrein af, zoals in les 3 zal blijken.

2. In de achtste en negende eeuw na Chr. beleeft de Arabische wereld een grote culturele bloei, ook op het gebied van de wiskunde. Omstreeks 825 na Chr. schrijft de grote arabische wiskundige Al-Khwârizmî een boek getiteld: Hisab Al-Jabr W'al-Moeqabala ('Wetenschap van hergroeperen en tegenoverstellen'). In de middeleeuwen is dit boek vertaald in het Latijn. Bij deze vertaling is het woord 'al-jabr' niet vertaald, maar gefonetiseerd overgenomen in het Latijn. En zo is het woord 'algebra' ontstaan. (terug)

3. Voluit: In Artem Analyticen Isagoge (terug)

4. Viète gebruikte overigens op een aantal punten een andere notatie, dan wij nu gewend zijn. Zo is "A³" bij hem "A cubum". (terug)

5. Afkomstig uit "Francisci Vietae Opera Mathematica" , een latijnse bewerking van het verzamelde werk van Viète van de hand van Frans van Schooten, Leiden 1646. (terug)

6.Vermoedelijk doelt Viète op Adrastus van Aphrodisia (2e eeuw v Chr), een filosoof en wiskundige uit de school van Aristoteles  (terug)