De Géométrie in hoofdlijnen

 

De Géométrie van Descartes is een revolutionair werk in de geschiedenis van de wiskunde. Het doel van dit werk - een algemeen toepasbare methode om meetkundige constructies uit te voeren - is op zich niet revolutionair. Meetkundige constructies waren al eeuwen een object van studie en kregen merkwaardigerwijs na het werk van Descartes al spoedig minder belangstelling. Het revolutionaire zit hem vooral in de nieuwe methode en het verzetten van de wiskundige bakens. Eigenlijk diende het werk als ondersteuning en illustratie van Descartes' filosofische denkwerk, terwijl het en passant de wiskunde in die dagen compleet heeft veranderd. Laten we nog even op een rijtje zetten wat de hoofdkenmerken van de vernieuwing in Descartes' methode zijn.

 

Nieuw   Omschrijving
Het gebruik van algebra om een meetkundig constructieprobleem te analyseren.   Reduceer het meetkundige probleem tot een stelsel van gegeven en gevraagde lijnstukken. Benoem deze lijnstukken met letters en vertaal het probleem in een algebraïsch verband tussen deze letters. Zodoende hoeven constructies niet telkens stap voor stap getekend te worden. In plaats daarvan kan men nu tot uiteindelijke constructie geraken door te manipuleren met algebraïsche vergelijkingen.
De invoering van de eenheid en het loslaten van de homogeniteits-eis.   Door een lijnstuk naar keuze als eenheid te nemen kunnen oppervlakken en inhouden (en alle andere grootheden waarvan de dimensie niet overeenkomt met die van een lijnstuk) toch als lijnstuk opgevat worden. Op deze manier wordt de algebra ontdaan van zijn meetkundige keurslijf en wordt het een uiterst krachtig hulpmiddel.
Het vertalen van algebraïsche uitdrukkingen in bijbehorende meetkundige constructies.   Als de algebraïsche uitdrukking tot zijn eenvoudigste vorm gereduceerd is volgt de uiteindelijke constructie van het onbekende lijnstuk. Hierbij verliezen de lijn en de cirkel het alleenrecht als constructiekromme. Ook andere krommen zijn nu aanvaardbaar, mits die krommen beschreven kunnen worden d.m.v. een opeenvolging van continue bewegingen, die uiteindelijk direct en duidelijk gekoppeld zijn aan de rechtlijnige of de cirkelbeweging. Voor de uiteindelijke constructie moet gebruik gemaakt worden van de meest geëigende kromme.
Een moderne algebraïsche notatie.   Op een enkele uitzondering na komt Descartes' notatiewijze overeen met onze huidige.

 

Vraag 44:

Welke van de tot nu toe bekeken vernieuwingen heeft de meeste indruk op je gemaakt?
Omschrijf je antwoord met redenen bekleed in maximaal vijf zinnen. Betrek in je antwoord eventueel de volgende aandachtspunten:

 

In de Géométrie komen nog meer vernieuwingen en vernieuwende impulsen voor. Een aantal ervan zullen in deze paragraaf aan de orde komen, zij het summier.

Opmerkelijk is dat punt 3 van de zojuist genoemde vernieuwingen eigenlijk verreweg het grootste deel van de Géométrie behelst. En dat is eigenlijk ook niet zo'n wonder. Het terrein van de krommen is tot dan toe nog een vrijwel onontgonnen terrein. Descartes heeft op dit gebied vernieuwend werk verricht. Laten we punt 3 even iets nader onder de loep nemen. Dan komen al gauw een aantal vragen op:

Op de eerste vraag zijn we in les 5 al enigszins ingegaan. Een alinea uit de Géométrie (alinea 26), die we in les 5 reeds bekeken hebben, toont dat Descartes op zoek is gegaan naar een soort classificatie van krommen.

Opdracht 45:

Lees nogmaals de zojuist genoemde passage uit de Géométrie.

Vraag 45:

Op grond van welke eigenschap wil Descartes de krommen in klassen indelen?

 

Deze classificatie van krommen op deze manier is volkomen nieuw. Descartes heeft deze classificatie nodig om aan te kunnen geven welke klasse van krommen je nodig hebt als je een meetkundig constructieprobleem wil oplossen. Eigenlijk heeft Descartes hiermee indirect een classificatie van constructieproblemen geformuleerd.

In boek II worden krommen uitvoerig bestudeerd, onder andere aan de hand van het eerder genoemde Pappus-probleem. Het lijkt misschien wat wonderlijk dat Descartes eigenlijk nauwelijks een vergelijking van een kromme heeft afgeleid. Vergelijkingen van krommen waren echter een bijna nieuw fenomeen. En bovendien waren ze niet zozeer het doel van Descartes' studie als wel een middel om tot een classificatie te komen. Het is hem overigens wel duidelijk dat de vergelijking veel informatie over een kromme bevat (pag. 341):

Vertaling:

30. Wanneer het verband tussen alle punten van een kromme en alle punten van een rechte lijn bekend is, op de manier die ik reeds heb uitgelegd, is het gemakkelijk om het verband te vinden tussen de punten van de kromme en alle andere gegeven punten en lijnen; en uit deze verbanden zijn tevens de diameter, de as, het centrum en andere lijnen of punten te vinden die speciaal van belang zijn voor de hoek; tevens begrijpen we hiermee de verschillende manieren om de kromme te beschrijven, en kunnen we de gemakkelijkste manier kiezen.

31. Alleen met deze methode is het vervolgens mogelijk om alles te weten te komen wat bepaald kan worden omtrent de grootte van hun oppervlakken, en het lijkt me toe dat er geen behoefte is aan een verdere uitleg van mij.

 

Vraag 46:

Als wij tegenwoordig een kromme willen karakteriseren, dan kunnen we volstaan met het geven van zijn vergelijking. Voor Descartes is dit (nog) niet aanvaardbaar. In welke zin blijkt dit?

Er is een gedeelte in boek II (vanaf pag. 351) waarin de vergelijkingen van een drietal krommen (waaronder die van een ellips) een zeer centrale rol spelen. Descartes toont hier een primeur: een methode om de normaal(12) aan een kromme te bepalen. Die normaal is volgens hem van groot nut om een aantal eigenschappen van krommen te ontdekken (pag. 341 en 342):

Vertaling:

32. Tot slot zijn alle andere eigenschappen van krommen alleen afhankelijk van de hoeken die deze krommen maken met andere lijnen. Maar de hoek die gevormd wordt door twee snijdende krommen kan net zo gemakkelijk worden gemeten in de vorm van de hoek tussen twee rechte lijnen, vooropgesteld dat een rechte lijn kan worden getekend die een rechte hoek maakt met een van de krommen in het snijpunt met de andere. Om deze reden geloof ik dat ik hiermee een voldoende inleiding heb gegeven in het onderzoek naar krommen door een algemene methode te verschaffen voor het tekenen van een loodlijn in een willekeurig punt van een kromme. En ik durf te beweren dat dit niet alleen de meest bruikbare en algemene meetkundige oplossing is die ik ken, maar tevens degene die ik het vurigst verlangde te weten

 

Vraag 47: 

Uit de tekst blijkt dat je een belangrijke eigenschap van krommen met behulp van normalen kunt bepalen. Welke eigenschap is dat?

In de volgende paragraaf van dit hoofdstuk zullen we voor de lezer, die nog niet verzadigd is, ingaan op de methode om de normaal aan een kromme te bepalen. Het blijkt een soort voorloper te zijn van de moderne differentiaalrekening.

Bekijken we nog een gedeelte van de tekst, en wel het begin van boek III (blz. 369 en 370):

Vertaling:

Geometrie

Boek III

Over de constructie van ruimtelijke en meer dimensionale problemen.

33. Terwijl het waar is dat iedere kromme die kan worden beschreven als een voordurende beweging herkend zou moeten worden in de meetkunde, betekent dit niet dat we de lukraak de eerste die we tegenkomen in de constructie van een gegeven probleem zouden moeten gebruiken. Wij zouden altijd met zorg de meest simpele kromme moeten kiezen die gebruikt kan worden bij de oplossing van een probleem, maar er moet opgemerkt worden dat de meest simpele niet alleen  betekent de meest gemakkelijke te beschrijven, noch degene die leidt tot de gemakkelijkste demonstratie of constructie van het probleem, maar veleer diegene van de simpelste klasse die kan worden gebruikt om de gewenste grootheid te bepalen.

 


Even verderop lezen we (blz. 371):


 

Vertaling:

34. Aan de andere kant zou het een vergissing zijn om tevergeefs een vraagstuk op te lossen door middel van constructie met eenvoudiger krommen dan de aard van het probleem toestaat.

 

Descartes zegt dus dat je voor iedere constructie een kromme moet nemen uit een zo laag mogelijke klasse. Maar pas op dat je niet een te lage klasse neemt. Wil je bijvoorbeeld de oplossing van een tweedegraads vergelijking construeren, neem dan geen parabool of ellips. Dan doe je te ingewikkeld. Neem een cirkel en een lijn (zie bijvoorbeeld blz 45 uit les 4). De constructie lukt echter niet met alleen maar lijnen.

Voor alles is er nog iets waar je op moet letten: zorg dat je algebraïsche uitdrukking in de eenvoudigste vorm staat. Descartes gaat hier uitgebreid op in in boek III. Hij begint met te zeggen (pag. 371):

Vertaling:

35. Voordat we de regels geven om deze beide fouten te vermijden, moeten we enkele algemene uitspraken doen betreffende de aard van vergelijkingen. Een vergelijking bestaat uit verschillende termen, sommige bekend en sommige onbekend, sommige waarvan de som gelijk is aan de rest; of liever, alle die tezamen gelijk zijn aan niets; want dit is vaak de beste vorm om te overwegen.

 

Vraag 48:

In welke vorm kan de vergelijking x3 = 3x2 + 2x - 6 volgens Descartes het beste worden geschreven?

 

Er volgt in boek III een uitgebreide uiteenzetting over de leer van algebraïsche vergelijkingen, met als doel een vergelijking te vereenvoudigen en zo mogelijk in graad te verlagen. Dit levert een aantal - voor die tijd - opvallende zaken, zoals op blz 372:


 

Vertaling:

36. Elke vergelijking kan evenveel onderscheiden oplossingen (van de onbekende) hebben als de hoogste macht van de onbekende in de vergelijking. Veronderstel, bijvoorbeeld, x=2 of x-2=0, en weer, x=3, of x-3=0. Door samen de twee vergelijking x-2=0 en x-3=0 te vermenigvuldigen, krijgen we x2-5x+6=0, of x2=5x-6.

Dit is een vergelijking waarin x de waarde 2 heeft maar ook de waarde 3 heeft. Als we dan ook x-4=0 nemen en deze factor vermenigvuldigen met x2-5x+6=0, dan krijgen we in dit geval met x3-9x2+26x-24=0 een vergelijking, waarin x tot de macht 3 voorkomt, en die drie oplossingen heeft, namelijk, 2, 3, en 4.

37. Het gebeurt echter vaak dat sommige van de oplossingen ongeschikt zijn of een waarde hebben die minder is dan niets. Dus, als we veronderstellen dat x een waarde vertegenwoordigt van 5 minder dan niets, dan hebben we x + 5=0, die vermenigvuldigd met x3-9x2+26x-24=0, x4-4x3-19x2+106x-120=0 oplevert, een vergelijking met vier oplossingen, namelijk 3 geschikte oplossingen, 2, 3, en 4, en een ongeschikte oplossing -5.

 

Vragen 49:

  1. Bijzonder voor die tijd, waarin de meetkundige interpretatie van de algebra nog hoogtij viert, is dat Descartes negatieve oplossingen van vergelijking serieus beschouwt. Hoe noemt hij die negatieve oplossingen (wortels)?
     
  2. Wat betekent le defaut d'une quantité, qui foit 5 (alinea 37)?



 

Naast negatieve oplossingen komen er ook irrationale getallen voor als oplossingen, maar ook als coëfficiënten van vergelijkingen.

Een regel, die de geschiedenis is ingegaan als de tekenregel van Descartes vinden we op pag. 373:

Vertaling:

38. We kunnen ook het aantal geschikte en ongeschikte oplossingen die elke vergelijking kan hebben, als volgt bepalen. Een vergelijking kan evenveel geschikte oplossingen hebben als de veranderingen van teken, van + tot – of van – tot + ; en zoveel ongeschikte oplossingen als het aantal keren twee + tekens of twee – tekens achter elkaar worden gevonden.

37. Dus zien we in de laatste vergelijking, aangezien +x4 wordt gevold door –4x3, hetgeen een tekenwisseling is van + naar -, en -19x2 gevolgd wordt door + 106x en + 106x door -120, hetgeen nog twee tekenwisselingen zijn, dat er drie geschikte oplossingen zijn; en aangezien -4x3 wordt gevolgd door -19x2 is er een ongeschikte oplossingen.

 

Vragen 50:

  1. Hoeveel positieve oplossingen heeft de vergelijking x2 - x - 6 = 0 volgens de tekenregel?
    En hoeveel heeft de vergelijking x3 = 3x2 + 4x - 12 er? 
  2. Hoeveel positieve oplossingen heeft de vergelijking x2 - x + 6 = 0 ? (!)


Blijkbaar beschouwt Descartes ook de oplossingen van x2 - x + 6 = 0 als positieve oplossingen: .

In de Géométrie worden deze zogenaamde imaginaire getallen(13) met name genoemd (blz. 380):

Vertaling:

40. Niet alle geschikte of ongeschikte oplossingen zijn betekenisvol; soms kunnen ze slechts denkbeeldig opgevat worden; Dat wil zeggen, terwijl we bij elke vergelijking altijd een maximum aantal oplossingen kunnen vinden op de wijze die ik heb aangegeven, is er evenwel niet altijd een vast te stellen waarde die overeenkomt met oplossing die op deze wijze wordt gevonden. Terwijl we dus kunnen vaststellen dat de vergelijking x3-6x2+13x-10=0 drie oplossingen heeft, is er slechts één geschikte wortel, 2, terwijl de andere twee, hoezeer we ze ook mogen optellen, aftrekken, of vermenigvuldigen in overeenstemming met de regels die zojuist neergelegd zijn, altijd denkbeeldig blijven.

 



 Dat Descartes imaginaire oplossingen ook als oplossingen beschouwt blijkt dus ook uit zijn constatering dat een vergelijking evenveel oplossingen heeft als de graad van de vergelijking.


Vragen 51:

  1. De vorm x4 - 5x2 + 4 is te ontbinden in (x-1)(x+1)(x-2)(x+2).
    Is de tekenregel van toepassing op x4 - 5x2 + 4 = 0 ?
     
  2. De trisectie van de hoek leverde in de vorige lessen de vergelijking z3 = 3z - q , met q>0. Hoeveel positieve oplossingen heeft deze vergelijking?
  3. De constructie van de vergelijking z3 = 3z - q is uitgevoerd bij alinea 28 en 29 van les 5. Daarmee was de trisectie van de hoek een feit. Bekijk die constructie nog eens. (zie ook hier)

    Als oplossingen zijn de abscissen van g, G en F gevonden. Welke van deze drie is een negatieve oplossing?

 

Met de verhandeling over vergelijkingen geeft Descartes de lezer gereedschap in handen om algebraïsche uitdrukkingen te reduceren tot hun eenvoudigste vorm. Hiermee is hij vrijwel aan het eind gekomen van zijn uitgebreide programma om meetkundige constructieproblemen op een algemeen toepasbare manier op te lossen. Hij besluit zijn boek met een aantal voorbeelden van constructies, waaronder de trisectie van de hoek.

Al met al bevat het boek een programma dat bol staat van vernieuwingen, ondanks het feit dat het eigenlijk een klassiek doel diende (meetkundige constructies). Het effect van de Géométrie op de wiskunde laat dan ook niet lang op zich wachten: de geboorte van de analytische meetkunde en de komst van de infinitesimaalrekening. Descartes' wens, dat zijn nageslacht zijn werk zal weten te waarderen, komt dan ook zeker uit (pag. 412 en 413):

Vertaling:

41. Maar het is niet mijn bedoeling een dik boek te schrijven. Daarentegen probeer ik veel samen te vatten in enkele woorden, hetgeen wellicht duidelijk is geworden uit wat ik hier gedaan heb, als men in ogenschouw neemt dat, door alle problemen van een type om te werken naar één enkele constructie, ik tegelijkertijd een methode heb ontwikkeld ze te transformeren naar een veelheid van anderen, en dus om ze op te lossen op een veelheid van manieren; dat tevens, door alle vlakke constructieproblemen op te lossen door het snijden van een cirkel en een rechte lijn, en alle ruimtelijke constructieproblemen door het snijden van de cirkel en een parabool; en, tot slot, alle problemen die telkens een graad complexer zijn door het snijden van een cirkel en een kromme die telkens een graad hoger is dan de parabool, is het slechts nodig dezelfde algemene methode te volgen om alle constructieproblemen op te lossen, in toenemende complexiteit, tot in het oneindige; want in het geval van een wiskundige, progressieve reeks is het eenvoudig, wanneer de eerste twee of drie termen gegeven zijn, de rest te vinden.

42. Ik hoop dat het nageslacht mild over mij zal oordelen, niet alleen vanwege de dingen die ik heb uitgelegd, maar ook vanwege die zaken die ik opzettelijk heb weggelaten teneinde anderen het plezier van de ontdekking over te gunnen.

 

 

 

12. Normaal: lijn, die de kromme in een gegeven punt loodrecht snijdt. De loodrechte variant van de raaklijn dus.

13. Wij noemen ze tegenwoordig complexe getallen. Het getal wordt nu genoteerd als . De letter i staat dus voor . Het complexe getal bestaat uit een reëel gedeelte () een een imaginair gedeelte ().