Constructies, waarbij een cirkel vereist is

 

We lezen (blz. 302):


 

Vertaling:

12. Ik zal mij daarom tevreden stellen met bewering dat wanneer iemand die deze vergelijkingen oplost, waar mogelijk gebruik zal maken van deling wanneer dit maar mogelijk is, hij zeker de eenvoudigste termen zal verkrijgen waarmee het probleem gereduceerd kan worden.

13. En wanneer het opgelost kan worden met gewone meetkunde, ofwel door middel van het gebruik van gewone rechte lijnen en cirkels die in het platte vlak getekend worden, en wanneer de laatste vergelijking helemaal opgelost is, zal er een vergelijking overblijven waarin hooguit het vierkant van de onbekende gelijk is aan het product de onbekende met een bekende waarde, vermeerderd of verminderd met een andere bekende waarde. Dan kan deze oplossing of onbekende lijnstuk gemakkelijk worden gevonden

 




Vraag 30: 

Welke algebraïsche uitdrukkingen zijn volgens Descartes in een meetkundige constructie met passer en liniaal om te zetten?


 

Vertaling:

14. Bijvoorbeeld, als ik z2=az+b2 heb, dan construeer ik een rechthoekige driehoek NLM met een zijde LM gelijk aan b, de vierkantswortel van de bekende hoeveelheid b2, en de andere zijde LN gelijk aan 1/2a, ofwel de helft van de andere bekende die vermenigvuldigd was met z, die ik op zijn beurt veronderstelde als het onbekende lijnstuk. Dan verkrijgen we door de hypotenusa van deze driehoek, MN, te verlengen naar O, zodat NO gelijk is aan NL, het hele lijn stuk OM als het gevraagde lijnstuk z. Dit kan op de volgende worden uitgedrukt:



 
We zien hier (blz. 302, 303) de eerste constructie met cirkel en lijn. 
De onbekende z uit z2 = az + b2 moet geconstrueerd worden.
 

Er wordt hierbij gebruik gemaakt van een eigenschap m.b.t. de cirkel: (zie figuur hiernaast)

 


Opdracht 31:

  1. Bewijs dat er geldt:

    aanwijzing: MP = MN - NL en MO = MN + NL
     
  2. Ga na hoe Descartes de figuur uit de gegeven coëfficiënten opbouwt. Laat zien dat MD=z voldoet aan z2 = az + b2 (maak hierbij gebruik van opdracht 1 hierboven).

     

Vraag 31:

De vergelijking z2 = az + b2 heeft ook als oplossing . Waarom zal Descartes deze oplossing niet beschouwd hebben?



Met dezelfde figuur kan nog een constructie uitgevoerd worden (blz. 303):

 

Vertaling:

15. Maar wanneer ik y2=-ay+b2 heb, waarin y de onbekende is waarvan waarde wordt gevraagd, dan teken ik dezelfde rechthoekige driehoek NLM, en op de hypotenusa MN pas ik NP af gelijk aan NL en het overblijfsel PM is y, de gevraagde oplossing. Dus ik heb

Op dezelfde manier, wanneer ik zou hebben X4=-ax2+b2 zou PM gelijk zijn aan x2 en ik zou moeten verkrijgen

En zo gaat het ook voor andere gevallen.

 




Vragen 32:

 
  1. In het geval van de vergelijking x4 = -ax2 + b2 zal PM gelijk zijn aan x2.
    Geef aan hoe je hieruit x kunt construeren.
  2. Hoe zit het in dit geval met de homogeniteits-eis?

 


We lezen verder.

Vertaling:

16. Tot slot, wanneer ik z2=az-b2 heb, maak ik NL gelijk aan ½a en LM gelijk aan b zoals hiervoor; dan in plaats van de punten M en N te verbinden, teken ik MQR evenwijdig aan LN, en met N als middelpunt beschrijf ik een cirkel door L die MQR snijdt in de punten Q en R; nu is het gezochte lijnstul z ofwel MQ of MR, want in dit geval kan het op twee manieren worden uitgedrukt, namelijk: en

17. En als de cirkel om N en door L de lijn MQR snijdt noch raakt, dan heeft de vergelijking geen oplossing, zodat we mogen zeggen dat de constructie van het probleem niet mogelijk is.

 
Beschouw de figuur hiernaast, welke identiek is aan de figuur in de voorgaande tekst. Getekend is de cirkel met middelpunt N en straal a/2. NL is evenwijdig aan MR. En LM staat loodrecht op NL. O is het midden van QR.



Opdracht 33:

  1. Toon aan dat NO evenwijdig is aan LM.
     
  2. Druk OQ uit in a en b.
     
  3. Druk MQ en MR uit in a en b.
     

Vragen 33:

  1. Waarom worden er in het voorgaande tekstgedeelte nu wel twee oplossingen beschouwd?
     
  2. In welk geval is er hier geen oplossing?
    In welke alinea beschrijft Descartes dit?
  3. In de voorgaande tekstgedeelten zijn de volgende vergelijkingen bekeken:

    Alleen de vorm bekijkt Descartes niet. Waarom zal hij dat niet gedaan hebben?


 

Vervolgens meet Descartes zijn werk af aan dat van de wiskundigen uit de Oudheid (blz. 304):


 

Vertaling:

18. Dezelfde oplossingen kunnen op vele andere manieren worden gevonden. Ik heb deze heel simpele voorbeelden gegeven om te laten zien dat het mogelijk is alle problemen van de gewone meetkunde te construeren door slechts dat te doen wat  in de vier figuren, die ik zojuist heb uitgelegd, getoond is. Ik geloof dat dit iets is wat de wiskundigen uit de Oudheid zich niet hebben gerealiseerd, want anders zouden ze niet zoveel energie hebben gestoken in het schrijven van zo vele boeken waarin de aaneenschakeling van de stellingen laat zien dat ze geen op zekerheid berustende methode hadden om alles te vinden, maar dat ze eerder die stellingen verzamelden die per ongeluk opdoken.




Vraag 34:

Wat ontbrak volgens Descartes datgene wat in de oude wiskunde op het gebied van de meetkundige constructieproblemen ontbrak?


Hierna snijdt Descartes in de rest van boek I een vrij complex probleem uit de Oudheid aan, dat bekend staat als het probleem van Pappus. We zullen hier in de volgende paragraaf summier aandacht aan besteden.

Bij de behandeling van dit probleem van Pappus ontvalt Descartes nog een opmerking, die een aardige afsluiting van deze paragraaf vormt (blz. 305, 306):

Vertaling:

19. Ik vraag u trouwens om u rekenschap te geven dat de overwegingen die de wiskundigen uit de Oudheid ertoe dwongen om rekenkundige begrippen te gebruiken binnen de meetkunde, hetgeen het voor hen onmogelijk maakte om verder te gaan dan het punt waar ze nog helder het verband tussen beide zagen, veel onduidelijkheid en verwarring veroorzaakte, in hun pogingen om een en ander te verklaren.